Resolva os PDI, por Laplace(todas as questões valem 2,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com Dirac
sujeita a
.
O conteúdo principal é a transformada de Laplace: vamos usar
– a linearização das derivadas,
– a transformada de e
– o teorema do deslocamento no tempo (shifting theorem).
O conteúdo principal é a transformada de Laplace: vamos usar
– a linearização das derivadas,
– a transformada de
– o teorema do deslocamento no tempo (shifting theorem).
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando
, temos
Como
, vale
e
Logo a equação no domínio de
fica
Passo 3
Fatorando
, obtemos
Passo 4
Reconhecemos que
portanto, pelo teorema do deslocamento no tempo,
onde
é a função degrau de Heaviside.
Passo 5
Concluímos que a solução cumpre