Resolva os PDI, por Laplace(todas as questões valem 2,5 pontos)
\begin{aligned} \ddot{y}-y & =\delta(t-\pi) \\\ y(0) & =\dot{y}(0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com Dirac
\ddot{y}(t)-y(t)=\delta(t-\pi),
sujeita a y(0)=\dot{y}(0)=0.
O conteúdo principal é a transformada de Laplace: vamos usar
– a linearização das derivadas,
– a transformada de \delta(t-\pi) e
– o teorema do deslocamento no tempo (shifting theorem).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, temos
\mathcal{L}\{\ddot y\}-\mathcal{L}\{y\} =\mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\}.
Como y(0)=\dot y(0)=0, vale
\mathcal{L}\{\ddot y\}=s^2Y(s), \qquad \mathcal{L}\{y\}=Y(s),
e
\mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\}=e^{-\pi s}.
Logo a equação no domínio de s fica
s^2Y(s)-Y(s)=e^{-\pi s}.

Passo 3

Fatorando Y(s), obtemos
(s^2-1)\,Y(s)=e^{-\pi s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^2-1}.

Passo 4

Reconhecemos que
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh} t\}=\frac{1}{s^2-1},
portanto, pelo teorema do deslocamento no tempo,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{e^{-\pi s}\,\frac{1}{s^2-1}\Bigr\} =\operatorname{sinh}\bigl(t-\pi\bigr)\,u(t-\pi),
onde u(t-\pi) é a função degrau de Heaviside.

Passo 5

Concluímos que a solução cumpre
y(t)= \begin{cases} 0, & t<\pi,\\[6pt] \operatorname{sinh}\bigl(t-\pi\bigr), & t\ge\pi. \end{cases}]

Resposta

y(t)=\operatorname{sinh}\bigl(t-\pi\bigr)\,u(t-\pi).

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