Questão 03: Considere
inteiros primos entre si. Quais são os possíveis valores para
? .
Passo 1
O enunciado considera dois inteiros
tais que
e pede os possíveis valores de
. O conteúdo é divisibilidade e máximo divisor comum, e vamos usar as propriedades básicas de gcd.
Passo 2
Seja
Como
divide ambos
e
, ele também divide a soma e a diferença desses dois números.
Passo 3
Calculamos
Logo
Passo 4
Como
, nenhum primo ímpar pode dividir simultaneamente
e
. Então os únicos fatores que podem compor
são potências de
. Mas como
divide
e
e não pode ter fator maior que
, concluímos que
Passo 5
Para ver quando ocorre cada caso, basta analisar a paridade de
e
:
- Se um for par e o outro ímpar, então
e são ímpares, logo . - Se ambos forem ímpares, então
e são pares, logo .
Resposta
Os únicos valores possíveis de
são
e
.