Questão 03: Considere a, b inteiros primos entre si. Quais são os possíveis valores para (a+b, a-b) ? .

Passo 1

O enunciado considera dois inteiros a,b tais que \gcd(a,b)=1 e pede os possíveis valores de \gcd(a+b,a-b). O conteúdo é divisibilidade e máximo divisor comum, e vamos usar as propriedades básicas de gcd.

Passo 2

Seja
d = \gcd(a+b,\,a-b).
Como d divide ambos a+b e a-b, ele também divide a soma e a diferença desses dois números.

Passo 3

Calculamos
(a+b)+(a-b)=2a,
(a+b)-(a-b)=2b.
Logo
d \mid 2a \quad\text{e}\quad d \mid 2b.

Passo 4

Como \gcd(a,b)=1, nenhum primo ímpar pode dividir simultaneamente a e b. Então os únicos fatores que podem compor d são potências de 2. Mas como d divide 2a e 2b e não pode ter fator maior que 2, concluímos que
d\in\{1,2\}.

Passo 5

Para ver quando ocorre cada caso, basta analisar a paridade de a e b:
  • Se um for par e o outro ímpar, então a+b e a-b são ímpares, logo \gcd(a+b,a-b)=1.
  • Se ambos forem ímpares, então a+b e a-b são pares, logo \gcd(a+b,a-b)=2.

Resposta

Os únicos valores possíveis de \gcd(a+b,a-b) são 1 e 2.

Exercícios relacionados