Mostre que o produto de três inteiros consecutivos é divisível por 6 e que o produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por 24 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Mostrar que o produto de três inteiros consecutivos é divisível por 6.
  • Mostrar que o produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por 24.
As informações que temos (vindo do enunciado) são:
  • Três inteiros consecutivos podem ser escritos genericamente como \,n,\;n+1,\;n+2, onde n é um inteiro arbitrário.
  • Quatro inteiros consecutivos podem ser escritos genericamente como \,n,\;n+1,\;n+2,\;n+3, onde n é um inteiro arbitrário.
O que se pede é testar propriedade de divisibilidade desses produtos por certos inteiros ( 6 e 24) para todo n.

Passo 2

Antes de começar a provar, vamos lembrar duas definições e ideias básicas que usaremos (explicadas de forma bem simples):
  • Definição de divisibilidade: dizemos que um inteiro a é divisível por um inteiro b (ou que b divide a) se existe um inteiro k tal que a=b\cdot k. Escreve-se isso como " b divide a" ou b\mid a.
    Exemplo: 6 divide 18 porque 18=6\cdot3.
  • Observações sobre pares e trincas consecutivas:
    • Entre dois inteiros consecutivos sempre há um par e um ímpar; logo, entre quaisquer dois consecutivos há exatamente um número par. Assim, entre três consecutivos haverá pelo menos um número par; entre quatro consecutivos haverá exatamente dois pares.
    • Para divisibilidade por 3: qualquer inteiro tem resto 0, 1 ou 2 ao dividir por 3. Assim, em três inteiros consecutivos sempre aparece um que tem resto 0 (ou seja, é múltiplo de 3). A mesma ideia vale para quatro inteiros consecutivos: entre eles também aparece um múltiplo de 3.
    • Para divisibilidade por 4: os restos possíveis ao dividir por 4 são 0,1,2,3. Em quatro inteiros consecutivos aparece cada resto exatamente uma vez, logo um deles é múltiplo de 4.
Estas ideias são suficientes para montar as provas formais a seguir.

Passo 3

Prova para três inteiros consecutivos.
  • Escrevemos os três inteiros como \,n,\;n+1,\;n+2.
  • Primeiro, mostrar que um desses três é múltiplo de 3. Isso vem da divisão por 3: qualquer inteiro n é congruente a 0,1 ou 2 módulo 3.
    • Se n\equiv 0\pmod{3} então n é múltiplo de 3.
    • Se n\equiv 1\pmod{3} então n+2\equiv 0\pmod{3}, logo n+2 é múltiplo de 3.
    • Se n\equiv 2\pmod{3} então n+1\equiv 0\pmod{3}, logo n+1 é múltiplo de 3.
      Assim, entre \,n,\;n+1,\;n+2 existe um múltiplo de 3.
  • Segundo, mostrar que pelo menos um desses três é par (múltiplo de 2). Entre dois inteiros consecutivos sempre há um par; portanto entre três consecutivos há pelo menos um par.
  • Agora juntamos as duas observações: no produto \,n(n+1)(n+2) há um fator múltiplo de 3 e há um fator múltiplo de 2. Esses podem até ser o mesmo número (por exemplo se algum dos três for múltiplo de 6), mas de qualquer forma o produto contém pelo menos um fator 2 e um fator 3.
  • Como 6=2\cdot3, isso implica que existe um inteiro k tal que n(n+1)(n+2)=6k,ou seja, 6 divide n(n+1)(n+2).
Exemplo numérico para ficar concreto: para n=4 temos 4\cdot5\cdot6=120, e 120=6\cdot20.

Passo 4

Resumo do argumento para os três consecutivos (forma curta e clara):
  • Entre três inteiros consecutivos sempre há um múltiplo de 3.
  • Entre três inteiros consecutivos há pelo menos um múltiplo de 2.
  • Logo o produto tem fatores 2 e 3, ou seja, é múltiplo de 6.

Passo 5

Prova para quatro inteiros consecutivos.
  • Escrevemos os quatro inteiros como \,n,\;n+1,\;n+2,\;n+3.
  • Primeiro, mostrar que entre esses quatro existe um múltiplo de 3. Pelo mesmo raciocínio de restos módulo 3, em qualquer sequência de três inteiros consecutivos já aparece um múltiplo de 3; logo em quatro consecutivos também aparece pelo menos um múltiplo de 3.
  • Segundo, analisar os fatores de 2 (potências de 2) no produto. Entre quatro inteiros consecutivos sempre há exatamente dois números pares (por exemplo, se n é par então n e n+2 são pares; se n é ímpar então n+1 e n+3 são pares). Além disso, entre quatro consecutivos aparece um número múltiplo de 4: os restos possíveis módulo 4 são 0,1,2,3, e em quatro consecutivos cada resto aparece uma vez, então um deles é congruente a 0\pmod{4}.
  • Portanto, entre os dois pares existe um que é múltiplo de 4. Vamos contar a potência de 2 que garante o produto:
    • O múltiplo de 4 fornece pelo menos um fator 4=2^2.
    • O outro par (o outro número par da sequência) fornece pelo menos mais um fator 2.
    • No total, multiplicando esses dois pares obtemos pelo menos 2^2\cdot2=2^3=8 como fator no produto completo.
  • Juntando com o fator 3 que já garantimos, concluímos que o produto \,n(n+1)(n+2)(n+3) tem pelo menos os fatores 3 e 2^3, isto é, tem o fator 3\cdot 2^3 = 3\cdot 8 = 24.Assim existe um inteiro K tal que n(n+1)(n+2)(n+3)=24K,ou seja, 24 divide n(n+1)(n+2)(n+3).
Exemplo numérico para concretizar: para n=1 temos 1\cdot2\cdot3\cdot4=24. Para n=2 temos 2\cdot3\cdot4\cdot5=120 e 120=24\cdot5.

Passo 6

Resumo do argumento para os quatro consecutivos (forma curta e clara):
  • Entre quatro inteiros consecutivos há um múltiplo de 3.
  • Entre quatro inteiros consecutivos há dois pares, e um desses pares é múltiplo de 4. Assim o produto contém um fator 2^3.
  • Portanto o produto contém 3\cdot 2^3=24 como divisor, ou seja, é múltiplo de 24.

Resposta

O produto de três inteiros consecutivos é divisível por 6.
O produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por 24.

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