Mostre que o produto de três inteiros consecutivos é divisível por 6 e que o produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por 24 .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Mostrar que o produto de três inteiros consecutivos é divisível por
. - Mostrar que o produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por
.
As informações que temos (vindo do enunciado) são:
- Três inteiros consecutivos podem ser escritos genericamente como
, onde é um inteiro arbitrário. - Quatro inteiros consecutivos podem ser escritos genericamente como
, onde é um inteiro arbitrário.
O que se pede é testar propriedade de divisibilidade desses produtos por certos inteiros (
e
) para todo
.
Passo 2
Antes de começar a provar, vamos lembrar duas definições e ideias básicas que usaremos (explicadas de forma bem simples):
- Definição de divisibilidade: dizemos que um inteiro
é divisível por um inteiro (ou que divide ) se existe um inteiro tal que . Escreve-se isso como " divide " ou .
Exemplo:divide porque . - Observações sobre pares e trincas consecutivas:
- Entre dois inteiros consecutivos sempre há um par e um ímpar; logo, entre quaisquer dois consecutivos há exatamente um número par. Assim, entre três consecutivos haverá pelo menos um número par; entre quatro consecutivos haverá exatamente dois pares.
- Para divisibilidade por
: qualquer inteiro tem resto , ou ao dividir por . Assim, em três inteiros consecutivos sempre aparece um que tem resto (ou seja, é múltiplo de ). A mesma ideia vale para quatro inteiros consecutivos: entre eles também aparece um múltiplo de . - Para divisibilidade por
: os restos possíveis ao dividir por são . Em quatro inteiros consecutivos aparece cada resto exatamente uma vez, logo um deles é múltiplo de .
Estas ideias são suficientes para montar as provas formais a seguir.
Passo 3
Prova para três inteiros consecutivos.
- Escrevemos os três inteiros como
. - Primeiro, mostrar que um desses três é múltiplo de
. Isso vem da divisão por : qualquer inteiro é congruente a ou módulo . - Se
então é múltiplo de . - Se
então , logo é múltiplo de . - Se
então , logo é múltiplo de .
Assim, entreexiste um múltiplo de .
- Se
- Segundo, mostrar que pelo menos um desses três é par (múltiplo de
). Entre dois inteiros consecutivos sempre há um par; portanto entre três consecutivos há pelo menos um par. - Agora juntamos as duas observações: no produto
há um fator múltiplo de e há um fator múltiplo de . Esses podem até ser o mesmo número (por exemplo se algum dos três for múltiplo de ), mas de qualquer forma o produto contém pelo menos um fator e um fator . - Como
, isso implica que existe um inteiro tal que ou seja, divide .
Exemplo numérico para ficar concreto: para
temos
, e
.
Passo 4
Resumo do argumento para os três consecutivos (forma curta e clara):
- Entre três inteiros consecutivos sempre há um múltiplo de
. - Entre três inteiros consecutivos há pelo menos um múltiplo de
. - Logo o produto tem fatores
e , ou seja, é múltiplo de .
Passo 5
Prova para quatro inteiros consecutivos.
- Escrevemos os quatro inteiros como
. - Primeiro, mostrar que entre esses quatro existe um múltiplo de
. Pelo mesmo raciocínio de restos módulo , em qualquer sequência de três inteiros consecutivos já aparece um múltiplo de ; logo em quatro consecutivos também aparece pelo menos um múltiplo de . - Segundo, analisar os fatores de
(potências de ) no produto. Entre quatro inteiros consecutivos sempre há exatamente dois números pares (por exemplo, se é par então e são pares; se é ímpar então e são pares). Além disso, entre quatro consecutivos aparece um número múltiplo de : os restos possíveis módulo são , e em quatro consecutivos cada resto aparece uma vez, então um deles é congruente a . - Portanto, entre os dois pares existe um que é múltiplo de
. Vamos contar a potência de que garante o produto: - O múltiplo de
fornece pelo menos um fator . - O outro par (o outro número par da sequência) fornece pelo menos mais um fator
. - No total, multiplicando esses dois pares obtemos pelo menos
como fator no produto completo.
- O múltiplo de
- Juntando com o fator
que já garantimos, concluímos que o produto tem pelo menos os fatores e , isto é, tem o fator Assim existe um inteiro tal que ou seja, divide .
Exemplo numérico para concretizar: para
temos
. Para
temos
e
.
Passo 6
Resumo do argumento para os quatro consecutivos (forma curta e clara):
- Entre quatro inteiros consecutivos há um múltiplo de
. - Entre quatro inteiros consecutivos há dois pares, e um desses pares é múltiplo de
. Assim o produto contém um fator . - Portanto o produto contém
como divisor, ou seja, é múltiplo de .
Resposta
O produto de três inteiros consecutivos é divisível por
.
O produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por .
O produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por