Sejam
inteiros impares. Mostre que
é par mas nāo é divisível por 4 .
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.\n
- Dados:
e são inteiros ímpares.\n - Pedido: mostrar duas coisas:
- que
é par (ou seja, divisível por ); - que
não é divisível por .\n
Vou usar apenas definições básicas e contas passo a passo, sem pular etapas.
- que
Passo 2
Definição e representação de inteiros ímpares.\n
- Um inteiro
é ímpar quando existe um inteiro tal que .\n - Como
e são ímpares, posso escrever onde e são inteiros (isto vem diretamente da definição de ímpar).
Passo 3
Calcular
e
expandindo as expressões anteriores.\n
- Para
: Posso agrupar os dois primeiros termos: Aqui é um número inteiro, então tem a forma .\n - Para
: ou seja, também é .
Passo 4
Somar
e
e simplificar.\n
Somando as formas obtidas:
Somando as formas obtidas:
Agrupando:
Fatorando
:
Passo 5
Concluir que
é par.\n
- A expressão obtida em
mostra que é um múltiplo de . Portanto é par.
Passo 6
Concluir que
não é divisível por
.\n
- Observe a forma dentro do parêntese:
é um número ímpar (pois é ). Logo . - Um número que é
vezes um inteiro ímpar tem resto quando dividido por ; em notação de congruência, cada quadrado de ímpar satisfaz , então Como o resto não é , não é divisível por .
Passo 7
Exemplo numérico (ilustrativo para fixar a ideia).\n
- Tome
e . Então . De fato é par (divisível por ) e não é inteiro, logo não é divisível por . Isso confirma o que provamos de forma geral.