Sejam x, y inteiros impares. Mostre que x^{2}+y^{2} é par mas nāo é divisível por 4 .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.\n
  • Dados: x e y são inteiros ímpares.\n
  • Pedido: mostrar duas coisas:
    1. que x^{2}+y^{2} é par (ou seja, divisível por 2);
    2. que x^{2}+y^{2} não é divisível por 4.\n
      Vou usar apenas definições básicas e contas passo a passo, sem pular etapas.

Passo 2

Definição e representação de inteiros ímpares.\n
  • Um inteiro z é ímpar quando existe um inteiro k tal que z=2k+1.\n
  • Como x e y são ímpares, posso escrever x=2a+1,\qquad y=2b+1onde a e b são inteiros (isto vem diretamente da definição de ímpar).

Passo 3

Calcular x^{2} e y^{2} expandindo as expressões anteriores.\n
  • Para x: x^{2}=(2a+1)^{2}=4a^{2}+4a+1.Posso agrupar os dois primeiros termos: x^{2}=4\bigl(a^{2}+a\bigr)+1=4\bigl(a(a+1)\bigr)+1.Aqui a(a+1) é um número inteiro, então x^{2} tem a forma 4\cdot(\text{inteiro})+1.\n
  • Para y: y^{2}=(2b+1)^{2}=4b^{2}+4b+1=4\bigl(b(b+1)\bigr)+1,ou seja, y^{2} também é 4\cdot(\text{inteiro})+1.

Passo 4

Somar x^{2} e y^{2} e simplificar.\n
Somando as formas obtidas:
x^{2}+y^{2}= \bigl(4a(a+1)+1\bigr)+\bigl(4b(b+1)+1\bigr).
Agrupando:
x^{2}+y^{2}=4\bigl(a(a+1)+b(b+1)\bigr)+2.
Fatorando 2:
x^{2}+y^{2}=2\Bigl(2\bigl(a(a+1)+b(b+1)\bigr)+1\Bigr).

Passo 5

Concluir que x^{2}+y^{2} é par.\n
  • A expressão obtida em \displaystyle x^{2}+y^{2}=2\bigl(2\bigl(a(a+1)+b(b+1)\bigr)+1\bigr) mostra que x^{2}+y^{2} é um múltiplo de 2. Portanto x^{2}+y^{2} é par.

Passo 6

Concluir que x^{2}+y^{2} não é divisível por 4.\n
  • Observe a forma dentro do parêntese: 2\bigl(a(a+1)+b(b+1)\bigr)+1 é um número ímpar (pois é 2\cdot(\text{inteiro})+1). Logo x^{2}+y^{2}=2\cdot(\text{ímpar})í.
  • Um número que é 2 vezes um inteiro ímpar tem resto 2 quando dividido por 4; em notação de congruência, cada quadrado de ímpar satisfaz \,(\text{ímpar})^{2}\equiv1\pmod{4}í, então x^{2}+y^{2}\equiv1+1\equiv2\pmod{4}.Como o resto não é 0, x^{2}+y^{2} não é divisível por 4.

Passo 7

Exemplo numérico (ilustrativo para fixar a ideia).\n
  • Tome x=3 e y=5. Então x^{2}+y^{2}=9+25=34. De fato 34 é par (divisível por 2) e 34/4=8{,}5 não é inteiro, logo não é divisível por 4. Isso confirma o que provamos de forma geral.

Resposta

x^{2}+y^{2} é par\newline
x^{2}+y^{2} não é divisível por 4

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