Sejam
um
-espaço vetorial e
uma transformação linear tal que
. Seja
e
. Prove que:
a
ÁLGEBRA LINEAR AVANÇADA
b
c
.
a
c
Passo 1
Estamos lidando com uma transformação linear idempotente, ou seja, satisfaz
. Definimos
W como o conjunto dos pontos fixos de , isto é
, e V como o núcleo de
, isto é
. Vamos usar conceitos de núcleo, imagem e soma direta para resolver.
W como o conjunto dos pontos fixos de
Passo 2
Para mostrar que
, tomamos um vetor arbitrário
e escrevemos
Então
logo . E
logo . Assim
, provando
.
Então
logo
logo
Passo 3
Para verificar que a soma é direta, precisamos mostrar
. Se
, então
(pois
) e também
(pois
). Daí
. Portanto a interseção é só o vetor zero e
Passo 4
Agora vamos a (b). Primeiro, se
, então
e
implica . Logo
. Por outro lado, se
então
, o que diz que
. Assim
implica
Passo 5
Finalmente, em ©, basta observar que para todo
temos por definição
. Logo
Resposta
a)
. b)
. c)
.