Sejam U um K-espaço vetorial e T: U U uma transformação linear tal que T circ T=T. Seja W=x in U: T(x)=x e V=x in U: T(x)=0. Prove que:
a U=W oplus V

ÁLGEBRA LINEAR AVANÇADA

b T(U)=W
c T(V)=0.

Passo 1

Estamos lidando com uma transformação linear idempotente, ou seja, satisfaz Tcirc T=T. Definimos
W como o conjunto dos pontos fixos de T, isto é W=xin U: T(x)=x, e V como o núcleo de T, isto é V=xin U: T(x)=0. Vamos usar conceitos de núcleo, imagem e soma direta para resolver.

Passo 2

Para mostrar que U=W+V, tomamos um vetor arbitrário xin U e escrevemos
win W
vin V
Então
x = w + v
logo U = W + V. E

logo . Assim , provando .

Passo 3

Para verificar que a soma é direta, precisamos mostrar W cap V = 0. Se zin Wcap V, então T(z)=z (pois zin W) e também T(z)=0 (pois zin V). Daí z=0. Portanto a interseção é só o vetor zero e

Passo 4

Agora vamos a (b). Primeiro, se uin U, então T(u)in T(U) e
T(u)in W
implica T(U)subseteq W. Logo win W. Por outro lado, se T(w)=w então w=T(w)in T(U), o que diz que . Assim

Passo 5

Finalmente, em ©, basta observar que para todo vin V temos por definição T(v)=0. Logo

Resposta

a) U=Woplus V. b) T(U)=W. c) T(V)=0.

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