a) Mostre que o número de soluções inteiras não negativas de uma equação da forma
, com
inteiro é
b) Quantas soluções inteiras não negativas têm a equação
?
Passo 1
O problema pede para contar todas as soluções inteiras não negativas da soma de r variáveis igual a n. Isso é conteúdo de combinatória, mais especificamente o argumento de estrelas e barras, que vamos usar para derivar a expressão fechada.
Passo 2
A ideia central é representar cada unidade de valor por uma “estrela” e usar “barras” para separar grupos de estrelas que correspondem a cada variável. Como temos n unidades no total, desenhamos n estrelas.
Para dividir essas n estrelas em r grupos (uma para cada variável x₁,…,xᵣ) precisamos de r−1 barras. No total teremos n estrelas e r−1 barras, somando n+r−1 símbolos.
Para dividir essas n estrelas em r grupos (uma para cada variável x₁,…,xᵣ) precisamos de r−1 barras. No total teremos n estrelas e r−1 barras, somando n+r−1 símbolos.
Passo 3
Cada arranjo desses símbolos corresponde a uma solução única. Como a ordem importa apenas na escolha das posições das barras, estamos escolhendo r−1 posições dentre as n+r−1 disponíveis.
O número de formas de escolher r−1 posições entre n+r−1 é exatamente
O número de formas de escolher r−1 posições entre n+r−1 é exatamente
Passo 4
Para o item (b) basta aplicar a fórmula com n=23 e r=4:
Passo 5
Finalmente, calculemos
Resposta
2600