a) Mostre que o número de soluções inteiras não negativas de uma equação da forma x1+x2+cdots+xr=n, com n inteiro é
binomn+r-1r-1
b) Quantas soluções inteiras não negativas têm a equação x+y+z+w=23 ?

Passo 1

O problema pede para contar todas as soluções inteiras não negativas da soma de r variáveis igual a n. Isso é conteúdo de combinatória, mais especificamente o argumento de estrelas e barras, que vamos usar para derivar a expressão fechada.

Passo 2

A ideia central é representar cada unidade de valor por uma “estrela” e usar “barras” para separar grupos de estrelas que correspondem a cada variável. Como temos n unidades no total, desenhamos n estrelas.
Para dividir essas n estrelas em r grupos (uma para cada variável x₁,…,xᵣ) precisamos de r−1 barras. No total teremos n estrelas e r−1 barras, somando n+r−1 símbolos.

Passo 3

Cada arranjo desses símbolos corresponde a uma solução única. Como a ordem importa apenas na escolha das posições das barras, estamos escolhendo r−1 posições dentre as n+r−1 disponíveis.
O número de formas de escolher r−1 posições entre n+r−1 é exatamente
binomn+r-1r-1

Passo 4

Para o item (b) basta aplicar a fórmula com n=23 e r=4:
binom23+4-14-1 = binom263

Passo 5

Finalmente, calculemos
binom263 = 26cdot25cdot243cdot2cdot1 = 2600

Resposta

2600

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