a) De quantas maneiras podemos dispor 8 peças brancas idênticas e 8 peças pretas idênticas num tabuleiro de xadrez (
)?
b) Quantas são simétricas (a disposição fica a mesma quando rotacionamos o tabuleiro de 180 graus)?
b) Quantas são simétricas (a disposição fica a mesma quando rotacionamos o tabuleiro de 180 graus)?
Passo 1
O enunciado pede duas contagens num tabuleiro 8×8 onde vamos colocar 8 peças brancas idênticas e 8 peças pretas idênticas: (a) quantas disposições sem nenhuma simetria imposta; (b) quantas disposições ficam iguais após rotação de 180°. O conteúdo aqui é contagem combinatória e, para a parte (b), análise de órbitas sob rotação.
Passo 2
Para a parte (a), como as peças são idênticas, primeiro escolhemos 8 casas dentre as 64 para as peças brancas e, em seguida, 8 casas dentre as 56 restantes para as peças pretas. Pelo princípio fundamental da contagem de combinações, o total é
Passo 3
Para a parte (b), note que a rotação de 180° no tabuleiro não deixa nenhuma casa fixa e agrupa as 64 casas em 32 pares (órbitas). Para manter a simetria, cada par de casas deve ou estar vazio ou ter duas peças da mesma cor. Como precisamos de 8 brancas, usamos 4 pares para as brancas (2×4=8 casas) e, das 28 pares restantes, escolhemos 4 para as pretas. Logo o número de disposições simétricas é
Resposta
a)
b)
b)