a) De quantas maneiras podemos dispor 8 peças brancas idênticas e 8 peças pretas idênticas num tabuleiro de xadrez ( 8 times 8 )?
b) Quantas são simétricas (a disposição fica a mesma quando rotacionamos o tabuleiro de 180 graus)?

Passo 1

O enunciado pede duas contagens num tabuleiro 8×8 onde vamos colocar 8 peças brancas idênticas e 8 peças pretas idênticas: (a) quantas disposições sem nenhuma simetria imposta; (b) quantas disposições ficam iguais após rotação de 180°. O conteúdo aqui é contagem combinatória e, para a parte (b), análise de órbitas sob rotação.

Passo 2

Para a parte (a), como as peças são idênticas, primeiro escolhemos 8 casas dentre as 64 para as peças brancas e, em seguida, 8 casas dentre as 56 restantes para as peças pretas. Pelo princípio fundamental da contagem de combinações, o total é
binom648;times;binom568

Passo 3

Para a parte (b), note que a rotação de 180° no tabuleiro não deixa nenhuma casa fixa e agrupa as 64 casas em 32 pares (órbitas). Para manter a simetria, cada par de casas deve ou estar vazio ou ter duas peças da mesma cor. Como precisamos de 8 brancas, usamos 4 pares para as brancas (2×4=8 casas) e, das 28 pares restantes, escolhemos 4 para as pretas. Logo o número de disposições simétricas é
binom324;times;binom284

Resposta

a) binom648binom568
b) binom324binom284

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