Mostre que \oint_{C} f(z) d z=0, onde f e C são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a -\pi \leq \theta<\pi.
f(z)=\frac{z e^{z}}{\log (2 z+4)} e C é o quadrado de vértices \pm 1 e \pm i.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é fornecido:
  • Pede-se para mostrar que \displaystyle \oint_{C} f(z)\,dz = 0.
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{z e^{z}}{\log(2z+4)}.
  • O contorno C é o quadrado cujos vértices são 1,-1,i,-i (o quadrado centrado em 0 cujo interior é a região convexa com |\Re z|+|\Im z|\le 1).
  • O ramo do logaritmo considerado é o ramo principal, isto é o logaritmo com argumento -\pi \le \theta<\pi (portanto o logaritmo principal é analítico em \mathbb{C}\setminus(-\infty,0] como função do seu argumento).
  • Informações úteis que vamos usar (retiradas do enunciado): a presença de \log(2z+4) no denominador indica potenciais problemas quando 2z+4 está sobre o ramo de corte (-\infty,0] ou quando \log(2z+4)=0.

Passo 2

Identificar as possíveis singularidades e o ramo de corte transportado para a variável z.
  • O logaritmo principal \log w é analítico em w\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]. Aqui o argumento do logaritmo é w=2z+4.
  • O ramo de corte em termos de z é o conjunto de z tal que 2z+4\in(-\infty,0]. Resolvendo, 2z+4=t,\quad t\le 0,\\ t\in\mathbb{R}o que dá z=\frac{t-4}{2},\quad t\le 0,ou seja o corte corresponde ao semieixo real \{z\in\mathbb{R}: z\le -2\}.
  • Pontos onde o denominador se anula: \log(2z+4)=0 se e somente se 2z+4=1, isto é z=-\tfrac{3}{2}.Esse ponto é um zero do denominador e portanto uma possível singularidade isolada (pelo menos se estiver no domínio considerado).
  • Há também o ponto 2z+4=0 (ou seja z=-2), que é o ponto de ramificação do logaritmo (branch point); pertence ao extremo do semieixo de corte.

Passo 3

Determinar se esses pontos perigosos estão dentro ou fora da região limitada por C.
  • A região interior de C tem \Re z\ge -1 e \Re z\le 1; em particular, para todo z na região fechada (interior mais contorno) vale \Re z \ge -1.
  • Assim, para todo z na região fechada temos \Re(2z+4)=2\Re z + 4 \ge 2\cdot(-1)+4 = 2.Portanto \Re(2z+4)\ge 2>0. Em palavras: para qualquer z no interior ou no contorno do quadrado, 2z+4 tem parte real positiva, logo não pertence ao semieixo (-\infty,0].
  • Consequências imediatas:
    • O ramo de corte \{z\le -2\} está fora da região limitada por C (pois -2<-1).
    • O ponto z=-\tfrac{3}{2}=-1{,}5 está fora da região (pois -1{,}5<-1).
    • O ponto de ramificação z=-2 também está fora.

Passo 4

Concluir sobre a analiticidade de f na região fechada determinada por C.
  • Como 2z+4 não atinge o semieixo (-\infty,0] para z no interior ou no contorno do quadrado, o composto \log(2z+4) (ramo principal) é analítico em toda essa região fechada.
  • Além disso, \log(2z+4) não se anula na região (verificamos que a única raiz \,z=-\tfrac{3}{2}\, fica fora), portanto 1/\log(2z+4) é também analítica na região (recíproco de função analítica sem zeros).
  • As outras partes da função, z e e^{z}, são inteiras (analíticas em todo \mathbb{C}). O produto de funções analíticas é analítico.
  • Logo f(z)=\dfrac{z e^{z}}{\log(2z+4)} é analítica em um aberto que contém a região fechada limitada por C (isto é, analítica em e dentro do contorno C).

Passo 5

Aplicar o teorema que dá o resultado pedido.
  • Um resultado fundamental do cálculo complexo (Teorema de Cauchy) diz que se uma função é analítica em um domínio simplesmente conexo que contém um laço fechado C e a região interior de C, então a integral de linha dessa função ao longo de C é zero: \oint_{C} f(z)\,dz = 0.
  • A região interior do quadrado é simplesmente conexa (não tem buracos) e já mostramos que f é analítica em um aberto que contém o interior e o contorno.
  • Portanto, pelo Teorema de Cauchy, segue imediatamente que \oint_{C} f(z)\,dz = 0.

Resposta

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