Mostre que
, onde
e
são especificadas em cada caso. O ramo do logaritmo considerado é o correspondente a
.
e
é o quadrado de vértices
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é fornecido:
- Pede-se para mostrar que
. - A função é
. - O contorno
é o quadrado cujos vértices são (o quadrado centrado em cujo interior é a região convexa com ). - O ramo do logaritmo considerado é o ramo principal, isto é o logaritmo com argumento
(portanto o logaritmo principal é analítico em como função do seu argumento). - Informações úteis que vamos usar (retiradas do enunciado): a presença de
no denominador indica potenciais problemas quando está sobre o ramo de corte ou quando .
Passo 2
Identificar as possíveis singularidades e o ramo de corte transportado para a variável
.
- O logaritmo principal
é analítico em . Aqui o argumento do logaritmo é . - O ramo de corte em termos de
é o conjunto de tal que . Resolvendo, o que dá ou seja o corte corresponde ao semieixo real . - Pontos onde o denominador se anula:
se e somente se , isto é Esse ponto é um zero do denominador e portanto uma possível singularidade isolada (pelo menos se estiver no domínio considerado). - Há também o ponto
(ou seja ), que é o ponto de ramificação do logaritmo (branch point); pertence ao extremo do semieixo de corte.
Passo 3
Determinar se esses pontos perigosos estão dentro ou fora da região limitada por
.
- A região interior de
tem e ; em particular, para todo na região fechada (interior mais contorno) vale - Assim, para todo
na região fechada temos Portanto . Em palavras: para qualquer no interior ou no contorno do quadrado, tem parte real positiva, logo não pertence ao semieixo . - Consequências imediatas:
- O ramo de corte
está fora da região limitada por (pois ). - O ponto
está fora da região (pois ). - O ponto de ramificação
também está fora.
- O ramo de corte
Passo 4
Concluir sobre a analiticidade de
na região fechada determinada por
.
- Como
não atinge o semieixo para no interior ou no contorno do quadrado, o composto (ramo principal) é analítico em toda essa região fechada. - Além disso,
não se anula na região (verificamos que a única raiz fica fora), portanto é também analítica na região (recíproco de função analítica sem zeros). - As outras partes da função,
e , são inteiras (analíticas em todo ). O produto de funções analíticas é analítico. - Logo
é analítica em um aberto que contém a região fechada limitada por (isto é, analítica em e dentro do contorno ).
Passo 5
Aplicar o teorema que dá o resultado pedido.
- Um resultado fundamental do cálculo complexo (Teorema de Cauchy) diz que se uma função é analítica em um domínio simplesmente conexo que contém um laço fechado
e a região interior de , então a integral de linha dessa função ao longo de é zero: - A região interior do quadrado é simplesmente conexa (não tem buracos) e já mostramos que
é analítica em um aberto que contém o interior e o contorno. - Portanto, pelo Teorema de Cauchy, segue imediatamente que