Mostre que A B=A C, onde:
l A=[ccc 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 4 & -3 & -1 ] B=[cccc 1 & 4 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 & 2 ] C=[cccc 2 & 1 & -1 & -2 3 & -2 & -1 & -4 2 & -5 & -1 & 0 ]

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a multiplicação das matrizes A com B dá o mesmo resultado que a multiplicação de A com C , ou seja, AB = AC .
Para isso, vamos usar o conteúdo de multiplicação de matrizes. A gente vai precisar conhecer como multiplicar duas matrizes, linha por coluna, e verificar se os resultados das duas multiplicações são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como multiplicar duas matrizes. Quando multiplicamos a matriz A (3x3) pela matriz B (3x4), o resultado será uma matriz AB de tamanho 3x4. O mesmo vale para AC .
A multiplicação de duas matrizes é feita assim:
  • Cada elemento da matriz resultante é calculado fazendo o produto escalar entre uma linha de A e uma coluna de B ou C .
Vamos fazer isso passo a passo para AB e para AC .

Passo 3

Vamos começar multiplicando A por B :
A = 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 4 & -3 & -1 , B = 1 & 4 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 & 2
A gente vai multiplicar cada linha de A por cada coluna de B .

Passo 4

Calculando AB :
  • Elemento (1,1):
(1)(1) + (-3)(2) + (2)(1) = 1 - 6 + 2 = -3
  • Elemento (1,2):
(1)(4) + (-3)(1) + (2)(-2) = 4 - 3 - 4 = -3
  • Elemento (1,3):
(1)(1) + (-3)(1) + (2)(1) = 1 - 3 + 2 = 0
  • Elemento (1,4):
(1)(0) + (-3)(1) + (2)(2) = 0 - 3 + 4 = 1
Agora, a primeira linha de AB é [-3, -3, 0, 1].

Passo 5

Continuando com AB :
  • Elemento (2,1):
(2)(1) + (1)(2) + (-3)(1) = 2 + 2 - 3 = 1
  • Elemento (2,2):
(2)(4) + (1)(1) + (-3)(-2) = 8 + 1 + 6 = 15
  • Elemento (2,3):
(2)(1) + (1)(1) + (-3)(1) = 2 + 1 - 3 = 0
  • Elemento (2,4):
(2)(0) + (1)(1) + (-3)(2) = 0 + 1 - 6 = -5
Agora, a segunda linha de AB é [1, 15, 0, -5].

Passo 6

Agora, a terceira linha de AB :
  • Elemento (3,1):
(4)(1) + (-3)(2) + (-1)(1) = 4 - 6 - 1 = -3
  • Elemento (3,2):
(4)(4) + (-3)(1) + (-1)(-2) = 16 - 3 + 2 = 15
  • Elemento (3,3):
(4)(1) + (-3)(1) + (-1)(1) = 4 - 3 - 1 = 0
  • Elemento (3,4):
(4)(0) + (-3)(1) + (-1)(2) = 0 - 3 - 2 = -5
Agora, a terceira linha de AB é [-3, 15, 0, -5].

Passo 7

Então, a matriz AB completa é:
AB = -3 & -3 & 0 & 1 1 & 15 & 0 & -5 -3 & 15 & 0 & -5

Passo 8

Agora, vamos multiplicar A por C :
C = 2 & 1 & -1 & -2 3 & -2 & -1 & -4 2 & -5 & -1 & 0
Vamos seguir o mesmo processo de multiplicação.

Passo 9

Calculando AC :
  • Elemento (1,1):
(1)(2) + (-3)(3) + (2)(2) = 2 - 9 + 4 = -3
  • Elemento (1,2):
(1)(1) + (-3)(-2) + (2)(-5) = 1 + 6 - 10 = -3
  • Elemento (1,3):
(1)(-1) + (-3)(-1) + (2)(-1) = -1 + 3 - 2 = 0
  • Elemento (1,4):
(1)(-2) + (-3)(-4) + (2)(0) = -2 + 12 + 0 = 10
Esperamos que o último elemento seja igual ao AB , mas vamos ver.

Passo 10

Continuando com AC :
  • Elemento (2,1):
(2)(2) + (1)(3) + (-3)(2) = 4 + 3 - 6 = 1
  • Elemento (2,2):
(2)(1) + (1)(-2) + (-3)(-5) = 2 - 2 + 15 = 15
  • Elemento (2,3):
(2)(-1) + (1)(-1) + (-3)(-1) = -2 -1 + 3 = 0
  • Elemento (2,4):
(2)(-2) + (1)(-4) + (-3)(0) = -4 -4 + 0 = -8
Agora, a segunda linha de AC é [1, 15, 0, -8].

Passo 11

Agora, a terceira linha de AC :
  • Elemento (3,1):
(4)(2) + (-3)(3) + (-1)(2) = 8 - 9 - 2 = -3
  • Elemento (3,2):
(4)(1) + (-3)(-2) + (-1)(-5) = 4 + 6 + 5 = 15
  • Elemento (3,3):
(4)(-1) + (-3)(-1) + (-1)(-1) = -4 + 3 + 1 = 0
  • Elemento (3,4):
(4)(-2) + (-3)(-4) + (-1)(0) = -8 + 12 + 0 = 4
Agora, a terceira linha de AC é [-3, 15, 0, 4].

Passo 12

Então, a matriz AC completa é:
AC = -3 & -3 & 0 & 10 1 & 15 & 0 & -8 -3 & 15 & 0 & 4

Passo 13

Agora, vamos comparar as matrizes AB e AC :
AB = -3 & -3 & 0 & 1 1 & 15 & 0 & -5 -3 & 15 & 0 & -5 , AC = -3 & -3 & 0 & 10 1 & 15 & 0 & -8 -3 & 15 & 0 & 4
Observamos que os elementos não são iguais em todas as posições. Por exemplo, o elemento (1,4) de AB é 1, enquanto em AC é 10.

Resposta

Após calcular AB e AC , observamos que AB neq AC . Portanto, não é verdade que AB = AC .

Exercícios relacionados