Questāo 6

Considera a matriz A dada:
A=[ll a & 0 b & 1 ]
Onde a e b são números reais. Se A^2=A e A é invertível, então:
a) a=0 e b=1
b) a=1 e b=0
c) a=0 e b=0
d) a=0 e b=1

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = a & 0 b & 1
e pede, sob as condições de ser idempotente ( A^2 = A) e invertível, os valores de a e b.

Passo 2

Calculamos A^2. Fazendo a multiplicação de matrizes:
A^2 = a & 0 b & 1a & 0 b & 1 = a^2 & 0 b,a + b & 1 = a^2 & 0 b(a+1) & 1

Passo 3

Igualando A^2 a A em cada entrada, obtemos duas condições não triviais:
a^2 = a,
b(a+1) = b

Passo 4

Da primeira condição a^2 = a segue
a(a-1)=0 Longrightarrow a = 0 ou a = 1

Passo 5

Da segunda condição b(a+1)=b temos
b(a+1)-b = 0 Longrightarrow b,a = 0 Longrightarrow b=0 ou a=0

Passo 6

Como A é invertível, seu determinante não pode ser zero:
det(A) = acdot1 - 0cdot b = a neq 0 Longrightarrow a = 1
Substituindo a=1 em b,a=0 bcdot1=0, logo b=0.

Resposta

a=1 e b=0.

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