Seja
o espaço vetorial real com as operações usuais. Consideremos os subconjuntos de
tais que
para todo
e
tais que
para todo
, respectivamente conjuntos das matrizes triangulares superiores e inferiores.
Mostre que
e
são subespaços de
. O conjunto de todas as matrizes diagonais
é um subespaço de
?
Mostre que
Passo 1
Resumindo o enunciado: estamos em
com operações usuais e definimos
e
.
Precisamos mostrar que e
são subespaços vetoriais (contem o zero, fechados sob soma e multiplicação escalar) e, em seguida, decidir se o conjunto das matrizes diagonais
é subespaço.
e
Precisamos mostrar que
é subespaço.
Passo 2
Verificação para
: o zero de
tem todas as entradas nulas, logo pertence a
. Dados
, se
então
e
, logo
portanto
. Para
e
temos
sempre que
, logo
. Assim,
é subespaço.
Passo 3
Verificação para
: de modo análogo, o zero está em
. Se
então para todo
vale
, logo
sempre que
. E para
,
sempre que
. Logo
é subespaço.
Passo 4
O conjunto das matrizes diagonais
é exatamente
, pois em
anulamos abaixo da diagonal e em
acima da diagonal. Como a interseção de subespaços é subespaço, o conjunto das diagonais também é subespaço.