Seja M4(R) o espaço vetorial real com as operações usuais. Consideremos os subconjuntos de M4(R), S=(ai j)1 <= i, j <= 4 tais que ai j=0 para todo i>j e T=(bi j)1 <= i, j <= 4 tais que bi j=0 para todo i<j, respectivamente conjuntos das matrizes triangulares superiores e inferiores.
Mostre que S e T são subespaços de M4(R). O conjunto de todas as matrizes diagonais
(ci j)1 <= i, j <= 4: ci j=0 para i neq j
é um subespaço de M4(R) ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos em M4(R) com operações usuais e definimos
S=l(aij)inM4(R):aij=0 sempre que i>jr
e
T=l(bij)inM4(R):bij=0 sempre que i<jr.
Precisamos mostrar que S e T são subespaços vetoriais (contem o zero, fechados sob soma e multiplicação escalar) e, em seguida, decidir se o conjunto das matrizes diagonais
(cij):cij=0 para ineq j
é subespaço.

Passo 2

Verificação para S: o zero de M4(R) tem todas as entradas nulas, logo pertence a S. Dados A,Bin S, se i>j então aij=0 e bij=0, logo
(A+B)ij=aij+bij=0,
portanto A+Bin S. Para lambdainR e Ain S temos
(lambda A)ij=lambda,aij=0
sempre que i>j, logo lambda Ain S. Assim, S é subespaço.

Passo 3

Verificação para T: de modo análogo, o zero está em T. Se C,Din T então para todo i<j vale cij=dij=0, logo
(C+D)ij=cij+dij=0
sempre que i<j. E para muinR,
(mu C)ij=mu,cij=0
sempre que i<j. Logo T é subespaço.

Passo 4

O conjunto das matrizes diagonais
MinM4(R):mij=0 para ineq j
é exatamente Scap T, pois em S anulamos abaixo da diagonal e em T acima da diagonal. Como a interseção de subespaços é subespaço, o conjunto das diagonais também é subespaço.

Resposta

S e T são subespaços de M4(R), e o conjunto das matrizes diagonais também é um subespaço.

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