Sejam e as transformações lineares tais que
em que B=(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1) e C=1,1+x, x+x^2.
(i) Determine bases para Ker(G circ T) e Ker(T circ G).
(ii) Seja H=3(T circ G)+I. Determine [H]D C, em que D=1, x, x^2.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares ;T:R^3toP2(R) e ;G:P2(R)toR^3
com matrizes nas bases B=(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1) e C=1,;1+x,;x+x^2:
Resolvendo N(alpha,beta,gamma)^T=0 dá beta=2alpha,;2alpha=0Rightarrowalpha=beta=0,;gamma livre.
Então (alpha,beta,gamma)=(0,0,1) e o polinômio em C é gamma,(x+x^2). Logo
ker(Tcirc G)=Span,x+x^2,
Passo 4
Agora . Para achar usamos:
Mudança de base de para : se então em
implica
Em coordenadas , é . Então
Já temos
Multiplicando:
Resposta
(i) ker(Gcirc T)=Span(1,2,1), ker(Tcirc G)=Span,x+x^2
(ii)