Sejam T: R^3 P2(R) e G: P2(R) R^3 as transformações lineares tais que
[T]B C=[ccc1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0] e [G]C B=[ccc1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2]
em que B=(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1) e C=1,1+x, x+x^2.
(i) Determine bases para Ker(G circ T) e Ker(T circ G).
(ii) Seja H=3(T circ G)+I. Determine [H]D C, em que D=1, x, x^2.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares
;T:R^3toP2(R) e
;G:P2(R)toR^3
com matrizes nas bases
B=(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1) e
C=1,;1+x,;x+x^2:
[T]BC = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 , [G]CB = 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2
Vamos (i) achar ker(Gcirc T) e ker(Tcirc G), e (ii) montar
H=3,(Tcirc G)+I na forma [H]DC com
D=1,x,x^2.

Passo 2

Para ;Gcirc T:R^3toR^3 na base B a matriz é
M ;=;[G]CB,[T]BC =1&1&21&-1&0-1&1&2 1&2&-11&0&-10&1&0 = 2 &4 &-2 0 &2 &0 0 &0 &0
Resolvendo M,(x,y,z)^T=0
2x+4y-2z=0, 2y=0 ;Longrightarrow;y=0,;x=z
Logo
ker(Gcirc T)=(x,0,x) em coordenadas da base B.
Em coordenadas padrões isso é
v=(1,0,1)B =1,(1,1,0)+1,(0,1,1) =(1,2,1),
então uma base é (1,2,1).

Passo 3

Para ;Tcirc G:P2toP2 na base C a matriz é
N;=;[T]BC,[G]CB =1&2&-11&0&-10&1&0 1&1&21&-1&0-1&1&2 = 4 &-2 &0 2 & 0 &0 1 &-1 &0
Resolvendo N(alpha,beta,gamma)^T=0
beta=2alpha,;2alpha=0Rightarrowalpha=beta=0,;gamma livre.
Então (alpha,beta,gamma)=(0,0,1) e o polinômio em C é
gamma,(x+x^2). Logo
ker(Tcirc G)=Span,x+x^2,

Passo 4

Agora . Para achar usamos:
  • Mudança de base de para : se
    então em

    implica
  • Em coordenadas , é . Então
Já temos
Multiplicando:

Resposta

(i) ker(Gcirc T)=Span(1,2,1),
ker(Tcirc G)=Span,x+x^2
(ii)
[H]DC = 13 & -19 & 19 6 & -5 & 5 3 & -6 & 7

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