Mostre que
\operatorname{cosh} ^{-1} z=\ln \left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right),
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\operatorname{cosh}^{-1}z = \ln\bigl(z + \sqrt{\,z^{2}-1}\bigr)
usando a definição de função hiperbólica em termos de exponenciais. O conteúdo é resolver a equação \operatorname{cosh} w = z para w.

Passo 2

Defina w = \operatorname{cosh}^{-1}z. Por definição, isso significa
\operatorname{cosh} w = z.
Sabendo que
\operatorname{cosh} w = \frac{e^{w} + e^{-w}}{2},
substituímos na equação acima.

Passo 3

Multiplicando por 2 em \operatorname{cosh} w = z, obtemos
e^{w} + e^{-w} = 2z.
Agora faça a substituição u = e^{w}. Então e^{-w} = 1/u e a equação vira
u + \frac{1}{u} = 2z.

Passo 4

Multiplicando a equação por u, chega-se ao polinômio
u^{2} - 2z\,u + 1 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são
u = \frac{2z \pm \sqrt{(2z)^{2} - 4}}{2} = z \pm \sqrt{z^{2}-1}.

Passo 5

Como u = e^{w} deve ser a escolha de sinal que torne u consistente com a definição principal (ou seja, para valores reais z\ge1, e^{w}\ge1). Assim, toma-se
u = z + \sqrt{z^{2}-1}.
Logo,
e^{w} = z + \sqrt{z^{2}-1}.

Passo 6

Finalmente, aplicando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
w = \ln\bigl(z + \sqrt{z^{2}-1}\bigr).
Lembrando que w = \operatorname{cosh}^{-1}z, conclui-se a identidade desejada.

Resposta

\boxed{\operatorname{cosh}^{-1}z = \ln\bigl(z + \sqrt{z^{2}-1}\bigr).}

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