Mostre que
,
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando a definição de função hiperbólica em termos de exponenciais. O conteúdo é resolver a equação
para
.
Passo 2
Defina
. Por definição, isso significa
Sabendo que
substituímos na equação acima.
Passo 3
Multiplicando por
em
, obtemos
Agora faça a substituição
. Então
e a equação vira
Passo 4
Multiplicando a equação por
, chega-se ao polinômio
Usando a fórmula de Bhaskara, as raízes são
Passo 5
Como
deve ser a escolha de sinal que torne
consistente com a definição principal (ou seja, para valores reais
,
). Assim, toma-se
Logo,
Passo 6
Finalmente, aplicando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
Lembrando que
, conclui-se a identidade desejada.