Mostre que y(x, t)=y_{M} \operatorname{sen}(k x-w t) pode ser reescrito nas seguintes formas alternativas:
y(x, t)=y_{M} \operatorname{sen}[2 \pi(x / \lambda-f t)]

Passo 1

O enunciado nos dá a onda harmônica unidimensional
y(x,t)=y_{M}\operatorname{sen}\bigl(kx-\omega t\bigr)
e pede para mostrar que ela pode ser escrita também como
y(x,t)=y_{M}\operatorname{sen}\bigl[2\pi\bigl(x/\lambda - f\,t\bigr)\bigr].
O conteúdo aqui é a relação entre número de onda k, frequência angular \omega, comprimento de onda \lambda e frequência f.

Passo 2

Lembramos das definições fundamentais de uma onda periódica:
k=\frac{2\pi}{\lambda}, \qquad \omega=2\pi f.
Essas relações surgem porque em uma distância \lambda a fase kx varia de 0 a 2\pi, e em um período T=1/f a fase \omega t varia de 0 a 2\pi.

Passo 3

Substituímos k e \omega na forma original:
y(x,t) = y_{M}\,\operatorname{sen}\bigl(kx-\omega t\bigr) = y_{M}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{2\pi}{\lambda}\,x \;-\;2\pi f\,t\Bigr).

Passo 4

Fatorando 2\pi dentro do argumento do seno, obtemos
y(x,t) = y_{M}\,\operatorname{sen}\!\Bigl[2\pi\bigl(x/\lambda - f\,t\bigr)\Bigr],
que é justamente a forma pedida.

Resposta

y(x,t)=y_{M}\operatorname{sen}\bigl[2\pi\bigl(x/\lambda - f\,t\bigr)\bigr].

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