Mostre que y(x, t)=y_{M} \operatorname{sen}(k x-w t) pode ser reescrito nas seguintes formas alternativas:
y(x, t)=y_{M} \operatorname{sen}[w(x / v-t)]

Passo 1

O enunciado dá a forma padrão de uma onda harmônica unidimensional
y(x,t)=y_{M}\,\operatorname{sen}(k\,x-\omega\,t)
onde k é o número de onda, \omega a frequência angular e v a velocidade de propagação. A tarefa é reescrever esse argumento de fase em função de \omega, v e t, chegando a
y(x,t)=y_{M}\,\operatorname{sen}\bigl[\omega\bigl(x/v - t\bigr)\bigr]\,.

Passo 2

Na teoria de ondas harmônicas temos as relações
k = \frac{2\pi}{\lambda},\quad \omega = 2\pi f,\quad v = \lambda\,f
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v = \frac{\omega}{k}\quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\omega}{v}\,.

Passo 3

Substituindo k = \omega/v dentro da fase k\,x-\omega\,t obtém-se
k\,x-\omega\,t = \frac{\omega}{v}\,x - \omega\,t = \omega\Bigl(\tfrac{x}{v} - t\Bigr)\,.
Portanto a forma da onda fica
y(x,t)=y_{M}\,\operatorname{sen}\Bigl[\omega\bigl(\tfrac{x}{v}-t\bigr)\Bigr]\,.

Resposta

y(x,t)=y_{M}\,\operatorname{sen}\bigl[\omega\bigl(x/v - t\bigr)\bigr]\,.

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