1 (6 pontos) Uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo no sentido positivo do eixo x tem componentes do campo elétrico E_{x}=E_{z}=0 e:
E_{y}(x, t)=(3,05 \mathrm{~V} / \mathrm{m}) \cos \left[k x-\left(8,89 \times 10^{15} \mathrm{rad} / \mathrm{s}\right) t\right]
(a) Qual é o comprimento de onda da onda? Considere a velocidade da luz como 3 \times 10^{\mathrm{s}} \mathrm{m} / \mathrm{s}. (b) Qual é a amplitude do campo magnético associado à onda? Escreva a equação para o campo magnético da onda. (c) Calcule o valor máximo da taxa de fluxo de energia por unidade de área para a onda eletromagnética.
(a)
(A) 2,55 \times 10^{-6} \mathrm{~m}, (B) 8,89 \times 10^{-6} \mathrm{~m}, (C) 3,46 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, (D) 9,62 \times 10^{-6} \mathrm{~m}, (E) 3,21 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, (F) 2,41 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, (G) 4,09 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, (H) 2,89 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, (I) 1,08 \times 10^{-5} \mathrm{~m}, (J) 4,74 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, (K) 2,69 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, (L) 8,57 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, (M) 2,12 \times 10^{-7} \mathrm{~m},(\mathrm{~N}) 6,20 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, (O) 5,64 \times 10^{-7} \mathrm{~m}, § 3,67 \times 10^{-7} \mathrm{~m},
(b) (A) 4,07 \times 10^{-9} \mathrm{~T}, (B) 1,97 \times 10^{-8} \mathrm{~T}, (C) 7,63 \times 10^{-9} \mathrm{~T}, (D) 5,20 \times 10^{-9} \mathrm{~T}, (E) 1,36 \times 10^{-8} \mathrm{~T}, (F) 1,48 \times 10^{-8} \mathrm{~T}, (G) 1,14 \times 10^{-8} \mathrm{~T}, (H) 5,70 \times 10^{-9} \mathrm{~T}, (I) 9,07 \times 10^{-9} \mathrm{~T}, (J) 1,02 \times 10^{-8} \mathrm{~T}, (K) 1,61 \times 10^{-8} \mathrm{~T}, (L) 4,57 \times 10^{-9} \mathrm{~T}, (M) 8,23 \times 10^{-9} \mathrm{~T},(\mathrm{~N}) 6,47 \times 10^{-9} \mathrm{~T}, (O) 1,22 \times 10^{-} \mathrm{~T}, § 1,80 \times 10^{-8} \mathrm{~T},
(c)
(A) 5,47 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (B) 4,40 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (C) 9,27 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (D) 6,48 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (E) 2,47 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (F) 5,35 \times 10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (G) 1,09 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (H) 5,94 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (I) 4,95 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (J) 1,99 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2},(\mathrm{~K}) 4,70 \times 10^{-1} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2},(\mathrm{~L}) 5,66 \times 10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2},(\mathrm{~M}) 3,60 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2},(\mathrm{~N}) 4,04 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, (O) 8,33 \times 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, § 7,23 \times 10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana no vácuo que se propaga ao longo do eixo x com
E_x=E_z=0, \quad E_y(x,t)=E_0\cos\bigl(kx-\omega t\bigr),
onde E_0=3,05,V/m e \omega=8,89\times10^{15},rad/s. Pede-se:
(a) o comprimento de onda \lambda usando c=3\times10^8,m/s;
(b) a amplitude do campo magnético B_0 e a equação B(x,t);
(c) o valor máximo da taxa de fluxo de energia por unidade de área (intensidade máxima), que vem do vetor de Poynting \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0.

Passo 2

Relação entre \lambda, \omega e c: primeiro a frequência
f=\frac{\omega}{2\pi},
de onde
\lambda=\frac{c}{f} =\frac{2\pi\,c}{\omega}.
Substituindo números,
\lambda =\frac{2\pi\,(3,00\times10^8)}{8,89\times10^{15}} \approx2,12\times10^{-7}\text{ m}.

Passo 3

Em vácuo vale
B_0=\frac{E_0}{c}.
Numericamente,
B_0=\frac{3,05}{3,00\times10^8}\approx1,02\times10^{-8}\text{ T}.
Como \mathbf E está em y e a onda vai em x, o campo magnético está em z, e
B_z(x,t)=B_0\cos\bigl(kx-\omega t\bigr).

Passo 4

O módulo instantâneo do vetor de Poynting é
S=\frac{E\,B}{\mu_0},
logo o valor máximo é
S_{\max}=\frac{E_0\,B_0}{\mu_0} =\frac{E_0^2}{\mu_0\,c} =\frac{E_0^2}{Z_0},
onde Z_0=\mu_0\,c\approx377\\ \Omega. Assim,
S_{\max} =\frac{(3,05)^2}{377} \approx2,47\times10^{-2}\text{ W/m}^2.

Resposta

(a) (M) 2,12\times10^{-7} m
(b) (J) 1,02\times10^{-8} T, com
B_z(x,t)=1,02\times10^{-8}\cos\bigl(kx-\omega t\bigr)\,\hat z
(c) (E) 2,47\times10^{-2} W/m ^2

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