Mostre que:
|\operatorname{sinh} z|^{2}=\operatorname{sinh} ^{2} x+\operatorname{sen}^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
|\operatorname{sinh} z|^{2}=\operatorname{sinh}^{2} x+\operatorname{sen}^{2} y,
assumindo implicitamente que z é um número complexo escrito na forma z=x+iy.
Informações dadas e objetivo claro:
  • z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • Quer-se provar a igualdade entre o quadrado do módulo de \operatorname{sinh} z e a expressão \operatorname{sinh}^{2} x+\operatorname{sen}^{2} y.

Passo 2

Lembretes e definições que vamos usar (explicados passo a passo):
  • Definição de \operatorname{sinh} para argumentos reais ou complexos:
\operatorname{sinh} w=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2}\quad\text{para todo }w\in\mathbb{C}.
Aqui e^{w} é a exponencial complexa.
  • Fórmula de Euler para e^{iy}:
e^{iy}=\cos y+i\operatorname{sen} y.
  • Módulo de um número complexo: se u=a+ib com a,b\in\mathbb{R}, então
|u|^{2}=a^{2}+b^{2}.
  • Identidade hiperbólica fundamental (fácil de obter das definições por exponenciais):
\operatorname{cosh}^{2} x-\operatorname{sinh}^{2} x=1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Calcular e^{z} e e^{-z} usando z=x+iy e a fórmula de Euler:
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\big(\cos y+i\operatorname{sen} y\big),
e^{-z}=e^{-x-iy}=e^{-x}e^{-iy}=e^{-x}\big(\cos y-i\operatorname{sen} y\big).

Passo 4

Agora aplicar a definição de \operatorname{sinh} z:
\operatorname{sinh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
Substituindo e^{z} e e^{-z} obtidos:
\operatorname{sinh} z=\frac{1}{2}\Big(e^{x}(\cos y+i\operatorname{sen} y)-e^{-x}(\cos y-i\operatorname{sen} y)\Big).
Agrupando parte real e imaginária:
\operatorname{sinh} z=\frac{1}{2}\big((e^{x}-e^{-x})\cos y\big) +\frac{i}{2}\big((e^{x}+e^{-x})\operatorname{sen} y\big).
Reconhecendo \operatorname{sinh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} e \operatorname{cosh} x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}, obtemos
\operatorname{sinh} z=\operatorname{sinh} x\cos y + i\,\operatorname{cosh} x\,\operatorname{sen} y.

Passo 5

Aplicar a fórmula do módulo ao número complexo \operatorname{sinh} z. A parte real é \operatorname{sinh} x\cos y e a parte imaginária é \operatorname{cosh} x\,\operatorname{sen} y, então
|\operatorname{sinh} z|^{2}=(\operatorname{sinh} x\cos y)^{2}+(\operatorname{cosh} x\,\operatorname{sen} y)^{2}.
Expandindo:
|\operatorname{sinh} z|^{2}=\operatorname{sinh}^{2} x\cos^{2} y+\operatorname{cosh}^{2} x\,\operatorname{sen}^{2} y.

Passo 6

Simplificar a expressão usando \operatorname{cosh}^{2} x=\operatorname{sinh}^{2} x+1 (da identidade hiperbólica) e \cos^{2} y+\operatorname{sen}^{2} y=1:
|\operatorname{sinh} z|^{2}=\operatorname{sinh}^{2} x\cos^{2} y+(\operatorname{sinh}^{2} x+1)\operatorname{sen}^{2} y.
Agrupando termos com \operatorname{sinh}^{2} x:
|\operatorname{sinh} z|^{2}=\operatorname{sinh}^{2} x(\cos^{2} y+\operatorname{sen}^{2} y)+\operatorname{sen}^{2} y.
Como \cos^{2} y+\operatorname{sen}^{2} y=1, segue que
|\operatorname{sinh} z|^{2}=\operatorname{sinh}^{2} x+\operatorname{sen}^{2} y.

Resposta

|\operatorname{sinh} z|^{2}=\operatorname{sinh}^{2} x+\operatorname{sen}^{2} y

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