Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
assumindo implicitamente que
é um número complexo escrito na forma
.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
-
com . - Quer-se provar a igualdade entre o quadrado do módulo de
e a expressão .
Passo 2
Lembretes e definições que vamos usar (explicados passo a passo):
- Definição de
para argumentos reais ou complexos:
Aqui
é a exponencial complexa.
- Fórmula de Euler para
:
- Módulo de um número complexo: se
com , então
- Identidade hiperbólica fundamental (fácil de obter das definições por exponenciais):
Passo 3
Calcular
e
usando
e a fórmula de Euler:
Passo 4
Agora aplicar a definição de
:
Substituindo
e
obtidos:
Agrupando parte real e imaginária:
Reconhecendo
e
, obtemos
Passo 5
Aplicar a fórmula do módulo ao número complexo
. A parte real é
e a parte imaginária é
, então
Expandindo:
Passo 6
Simplificar a expressão usando
(da identidade hiperbólica) e
:
Agrupando termos com
:
Como
, segue que