Se u cdot v=0 e u cdot w=0, mostre que u é ortogonal a qualquer combinação linear dos vetores v e w.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois vetores v e w tais que
ucdotv=0 e ucdotw=0.
O objetivo é mostrar que u é ortogonal a qualquer combinação linear desses vetores, usando a bilinearidade (distributividade e homogeneidade) do produto escalar.

Passo 2

Seja uma combinação linear arbitrária de v e w definida por
x=alpha,v+beta,w,
onde alpha,betainR. Vamos verificar o produto escalar ucdotx.

Passo 3

Pela linearidade do produto escalar em cada argumento, temos
ucdotx =ucdotl(alpha,v+beta,wr) =alpha,(ucdotv)+beta,(ucdotw) =alphacdot 0+betacdot 0 =0

Passo 4

Como ucdotx=0, concluímos que u é ortogonal a x.
E x era uma combinação linear qualquer de v e w. Logo, u é ortogonal a qualquer combinação linear desses vetores.

Resposta

u é ortogonal a qualquer combinação linear de v e w.

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