Seja
um espaço vetorial sobre
. Dadas
e
mostre que
e
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
sobre o corpo
e dados
e
queremos mostrar que, se
então necessariamente
ou
. Vamos usar as propriedades de espaço vetorial, em particular a existência de inverso multiplicativo para escalares não nulos.
Passo 2
Suponha primeiro que
. Então
por definição de multiplicação por escalar, e a conclusão “
ou
” já vale nesse caso (de fato vale
).
Passo 3
Suponha agora que
. Como
é um corpo,
tem inverso multiplicativo
. Aplicando esse inverso à igualdade
obtemos
Pelo axioma de associatividade e pela propriedade de escalar unitário vem
Resposta
Se
, então ou
ou
.