Seja V um espaço vetorial sobre R. Dadas alpha in R e v in V mostre que alpha cdot v=0 alpha=0 e v=0

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V sobre o corpo R e dados alphainR e vin V queremos mostrar que, se
alphacdot v = 0,
então necessariamente alpha=0 ou v=0. Vamos usar as propriedades de espaço vetorial, em particular a existência de inverso multiplicativo para escalares não nulos.

Passo 2

Suponha primeiro que alpha = 0. Então alphacdot v = 0cdot v = 0 por definição de multiplicação por escalar, e a conclusão “ alpha=0 ou v=0” já vale nesse caso (de fato vale alpha=0).

Passo 3

Suponha agora que alpha neq 0. Como R é um corpo, alpha tem inverso multiplicativo alpha^-1. Aplicando esse inverso à igualdade alphacdot v = 0 obtemos
alpha^-1l(alphacdot vr) = alpha^-1cdot 0
Pelo axioma de associatividade e pela propriedade de escalar unitário vem
(alpha^-1alpha)cdot v = 0 Longrightarrow 1cdot v = 0 Longrightarrow v = 0

Resposta

Se alphacdot v = 0, então ou alpha = 0 ou v = 0.

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