Questão 01. Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Sabe-se que a taxa de variação da quantidade
presente de certo elemento radioativo no instante
é dada por:
Onde
é uma constante que depende do elemento. Sabendo-se que certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente, e que se inicialmente a quantidade de material era de 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se
da massa original, determine:
a) (1,0 ponto) A expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário
.
b)
ponto) A massa restante após 4 horas.
c)
ponto) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade.
Dados:
a) (1,0 ponto) A expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário
b)
c)
Passo 1
O enunciado descreve uma decadência radioativa regida pela equação
[ \frac{dQ}{dt} = -k,Q(t) ]
com condição inicial mg e após 2 horas
mg (perda de 10%).
[ \frac{dQ}{dt} = -k,Q(t) ]
com condição inicial
Passo 2
Separemos variáveis e integremos:
[ \frac{dQ}{Q} = -k,dt ]
Integrando,
[ \ln|Q| = -k,t + C ]
Exponenciando, obtemos a solução geral .
[ \frac{dQ}{Q} = -k,dt ]
Integrando,
[ \ln|Q| = -k,t + C ]
Exponenciando, obtemos a solução geral
Passo 3
Usando
mg, concluímos
. Em seguida, com
mg:
[ 45 = 50,e^{-2k} ]
Logo e
[ k = -\tfrac{1}{2}\ln(0,9) \approx 0,0527\ h^{-1}. ]
[ 45 = 50,e^{-2k} ]
Logo
[ k = -\tfrac{1}{2}\ln(0,9) \approx 0,0527\ h^{-1}. ]
Passo 4
Substituindo
e
na solução, a expressão final é
[ Q(t) = 50,e^{-0,0527,t}\ ]mg
[ Q(t) = 50,e^{-0,0527,t}\ ]mg
Passo 5
Para o tempo
h, temos:
[ Q(4) = 50,e^{-0,0527\times4} = 50,e^{-0,2108} \approx 50\times0,8099 = 40,5\ mg. ]
[ Q(4) = 50,e^{-0,0527\times4} = 50,e^{-0,2108} \approx 50\times0,8099 = 40,5\ mg. ]
Passo 6
O tempo de meia-vida
satisfaz
, ou seja:
[ e^{-k,t_{1/2}} = \tfrac12 \implies t_{1/2} = \frac{\ln2}{k} = \frac{0,693}{0,0527} \approx 13,15\ h. ]
[ e^{-k,t_{1/2}} = \tfrac12 \implies t_{1/2} = \frac{\ln2}{k} = \frac{0,693}{0,0527} \approx 13,15\ h. ]
Resposta
a)
mg; b)
mg; c)
h.