Questão 01. Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Sabe-se que a taxa de variação da quantidade Q presente de certo elemento radioativo no instante t é dada por:
d Qd t=-k Q(t)
Onde k é uma constante que depende do elemento. Sabendo-se que certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente, e que se inicialmente a quantidade de material era de 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10 % da massa original, determine:
a) (1,0 ponto) A expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t.
b) (0,75 ponto) A massa restante após 4 horas.
c) (0,75 ponto) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade.
Dados: ln ln (2)=0,693 ; ln (0,9)=-0,1054 ; e^-0,2108=0,8099

Passo 1

O enunciado descreve uma decadência radioativa regida pela equação
[ \frac{dQ}{dt} = -k,Q(t) ]
com condição inicial Q(0)=50 mg e após 2 horas Q(2)=0,9times50=45 mg (perda de 10%).

Passo 2

Separemos variáveis e integremos:
[ \frac{dQ}{Q} = -k,dt ]
Integrando,
[ \ln|Q| = -k,t + C ]
Exponenciando, obtemos a solução geral Q(t)=C,e^-k t.

Passo 3

Usando Q(0)=50 mg, concluímos C=50. Em seguida, com Q(2)=45 mg:
[ 45 = 50,e^{-2k} ]
Logo e^-2k=0,9 e
[ k = -\tfrac{1}{2}\ln(0,9) \approx 0,0527\ h^{-1}. ]

Passo 4

Substituindo C e k na solução, a expressão final é
[ Q(t) = 50,e^{-0,0527,t}\ ]mg

Passo 5

Para o tempo t=4 h, temos:
[ Q(4) = 50,e^{-0,0527\times4} = 50,e^{-0,2108} \approx 50\times0,8099 = 40,5\ mg. ]

Passo 6

O tempo de meia-vida t1/2 satisfaz Q(t1/2)=tfrac502, ou seja:
[ e^{-k,t_{1/2}} = \tfrac12 \implies t_{1/2} = \frac{\ln2}{k} = \frac{0,693}{0,0527} \approx 13,15\ h. ]

Resposta

a) Q(t)=50,e^-0,0527,t mg; b) Q(4)approx40,5 mg; c) t1/2approx13,15 h.

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