Mostre que |u+t v|^2=|u|^2+2lang<= u, vrang<= t+|v|^2 t^2 para todo u, v in R^n;

Passo 1

A questão pede para mostrar a expansão do quadrado da norma do vetor u + t v. O conteúdo principal é produto interno (ou escalar) em R^n e a relação entre norma e produto interno. Vamos usar a definição |w|^2 = lang<= w, wrang<= e as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Recordando que a norma ao quadrado de um vetor w é dada por
|w|^2 = lang<= w, wrang<=
aplicamos isso a w = u + t v:
|u + t v|^2 = lang<= u + t v,; u + t vrang<=

Passo 3

Usando a bilinearidade do produto interno, expandimos
lang<= u + t v,; u + t vrang<= = lang<= u, urang<= + tlang<= u, vrang<= + tlang<= v, urang<= + t^2lang<= v, vrang<=

Passo 4

Pelo fato de o produto interno ser simétrico, temos lang<= v, urang<= = lang<= u, vrang<=. Além disso, lang<= u, urang<= = |u|^2 e lang<= v, vrang<= = |v|^2. Substituindo estes na expressão anterior:
|u + t v|^2 = |u|^2 + tlang<= u, vrang<= + tlang<= u, vrang<= + t^2|v|^2

Passo 5

Agrupando os termos semelhantes em t, obtemos
|u + t v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, vrang<= t + |v|^2 t^2

Resposta

|u + t v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, vrang<= t + |v|^2 t^2

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