Mostre que
a) \|\vec{x}+\vec{y}\| \leqslant\|\vec{x}\|+\|\vec{y}\| (propriedade triangular)
b) |\|\vec{x}\|-\|\vec{y}\|| \leqslant\|\vec{x}-\vec{y}\|
c) |\vec{x} \cdot \vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| \Leftrightarrow \vec{x}, \vec{y} são lineares dependentes

Sugestão

a) \|\vec{x}+\vec{y}\|^{2}=\|\vec{x}\|^{2}+2 \vec{x} \cdot \vec{y}+\|\vec{y}\|^{2}. Use \vec{x} \cdot \vec{y} \leqslant|\vec{x} \cdot \vec{y}| \leqslant\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|
(Desigualdade de Schwarz.)
b) A desigualdade equivale a
-\|\vec{x}-\vec{y}\| \leqslant\|\vec{x}\|-\|\vec{y}\| \leqslant\|\vec{x}-\vec{y}\|
Escreva \vec{x}=(\vec{x}-\vec{y})+\vec{y}. Use a parte \mathbf{a}.

Passo 1

O enunciado pede que, em \mathbb{R}^n com o produto interno usual e norma \|\vec{z}\| = \sqrt{\vec{z}\cdot\vec{z}}, provemos:
a) a desigualdade triangular
b) a desigualdade inversa da triangular
c) que a igualdade em Cauchy–Schwarz só ocorre quando os vetores são linearmente dependentes.

Passo 2

Para (a), comece calculando o quadrado da norma da soma:
\|\vec{x}+\vec{y}\|^2 = (\vec{x}+\vec{y})\cdot(\vec{x}+\vec{y}) = \|\vec{x}\|^2 + 2\,\vec{x}\cdot\vec{y} + \|\vec{y}\|^2.
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
\vec{x}\cdot\vec{y}\le|\vec{x}\cdot\vec{y}|\le\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
Logo
\|\vec{x}+\vec{y}\|^2 \le \|\vec{x}\|^2 + 2\,\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| + \|\vec{y}\|^2 = \bigl(\|\vec{x}\|+\|\vec{y}\|\bigr)^2.
Tirando raiz não–negativa de ambos os lados vem
\|\vec{x}+\vec{y}\|\le\|\vec{x}\|+\|\vec{y}\|.

Passo 3

Para (b), note que
|\|\vec{x}\|-\|\vec{y}\||\le\|\vec{x}-\vec{y}\| \iff -\|\vec{x}-\vec{y}\|\le \|\vec{x}\|-\|\vec{y}\|\le\|\vec{x}-\vec{y}\|.
Escreva \vec{x} = (\vec{x}-\vec{y}) + \vec{y}. Aplicando (a) a essa soma:
\|\vec{x}\| \le \|\vec{x}-\vec{y}\| + \|\vec{y}\| \implies \|\vec{x}\| - \|\vec{y}\| \le \|\vec{x}-\vec{y}\|.
Trocando \vec{x} e \vec{y} obtém-se
\|\vec{y}\| - \|\vec{x}\| \le \|\vec{y}-\vec{x}\| = \|\vec{x}-\vec{y}\|,
ou seja
-\|\vec{x}-\vec{y}\|\le \|\vec{x}\|-\|\vec{y}\|.
Combinando as duas desigualdades, chega-se ao resultado desejado.

Passo 4

Para (c), prove os dois sentidos:
( \Rightarrow) Se \vec{y}=\lambda\,\vec{x}, então
\vec{x}\cdot\vec{y} = \lambda\,\|\vec{x}\|^2 \implies |\vec{x}\cdot\vec{y}| = |\lambda|\,\|\vec{x}\|^2 = \|\vec{x}\|\bigl(|\lambda|\,\|\vec{x}\|\bigr) = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
( \Leftarrow) Suponha |\vec{x}\cdot\vec{y}| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|.
Se \vec{x}=\vec{0} ou \vec{y}=\vec{0}, há dependência linear trivial.
Caso contrário, defina
\lambda = \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|^2} \quad\text{e considere}\quad \vec{u} = \vec{y}-\lambda\,\vec{x}.
Então
\|\vec{u}\|^2 = \|\vec{y}\|^2 - 2\lambda(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \lambda^2\|\vec{x}\|^2.
Como \lambda\|\vec{x}\|^2 = \vec{x}\cdot\vec{y} e |\vec{x}\cdot\vec{y}| = \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|, substituindo vê–se que \|\vec{u}\|^2=0.
Logo \vec{u}=\vec{0}, isto é \vec{y}=\lambda\,\vec{x}, mostrando a dependência linear.

Resposta

a) \|\vec{x}+\vec{y}\|\le\|\vec{x}\|+\|\vec{y}\|
b) \bigl|\|\vec{x}\|-\|\vec{y}\|\bigr|\le\|\vec{x}-\vec{y}\|
c) |\vec{x}\cdot\vec{y}|=\|\vec{x}\|\|\vec{y}\| se e somente se \vec{x},\vec{y} são linearmente dependentes.

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