Mostre que \vec{u} \cdot \vec{v}=-\frac{1}{4}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}\right); e que \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a chamada identidade de polarização
\vec u\cdot\vec v \;=\;-\tfrac14\bigl(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\bigr)
e em seguida deduzir que
\vec u\cdot\vec v=0\quad\Longleftrightarrow\quad\|\vec u+\vec v\|=\|\vec u-\vec v\|.
Vamos usar apenas as propriedades de produto escalar e norma em \mathbb R^n.

Passo 2

Calculemos \|\vec u+\vec v\|^2 e \|\vec u-\vec v\|^2 por expansão:
\|\vec u+\vec v\|^2 =(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v) =\vec u\cdot\vec u+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec v,
\|\vec u-\vec v\|^2 =(\vec u-\vec v)\cdot(\vec u-\vec v) =\vec u\cdot\vec u-2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec v.

Passo 3

Subtraindo as duas expressões:
\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2 =\bigl(u\cdot u+2\,u\cdot v+v\cdot v\bigr)-\bigl(u\cdot u-2\,u\cdot v+v\cdot v\bigr) =4\,\vec u\cdot\vec v.

Passo 4

Reorganizando para \vec u\cdot\vec v:
\vec u\cdot\vec v =\tfrac14\bigl(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\bigr).
Logo, multiplicando ambos os lados por -1 e reescrevendo, obtém-se
\vec u\cdot\vec v =-\tfrac14\bigl(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\bigr),
que é exatamente a forma pedida.

Passo 5

Para a equivalência \vec u\cdot\vec v=0\Leftrightarrow\|\vec u+\vec v\|=\|\vec u-\vec v\|, note que
\vec u\cdot\vec v=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u-\vec v\|^2.
Como ambas as normas são não negativas, isto é equivalente a
\|\vec u+\vec v\|=\|\vec u-\vec v\|.

Resposta

\vec u\cdot\vec v=-\frac14\bigl(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\bigr),
e
\vec u\cdot\vec v=0\;\Longleftrightarrow\;\|\vec u+\vec v\|=\|\vec u-\vec v\|.

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