Mostre que se x, y \in \mathbb{R} então
\max \{x, y\}=\frac{1}{2}(x+y+|x-y|)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados x,y\in\mathbb{R}, vale a identidade
\max\{x,y\} \;=\;\frac{1}{2}\bigl(x+y+|x-y|\bigr).
O conteúdo envolve propriedades do valor absoluto e definição de máximo. A ideia é fazer uma análise em dois casos: x\ge y e x<y.

Passo 2

Caso x\ge y. Nesse caso |x-y|=x-y. Substituindo na expressão da direita:
\frac{1}{2}\bigl(x+y+|x-y|\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(x+y+(x-y)\bigr) =\frac{1}{2}(2x) =x =\max\{x,y\}.

Passo 3

Caso x<y. Aqui |x-y|=y-x. Então
\frac{1}{2}\bigl(x+y+|x-y|\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(x+y+(y-x)\bigr) =\frac{1}{2}(2y) =y =\max\{x,y\}.

Passo 4

Em ambos os casos a expressão \tfrac12(x+y+|x-y|) coincide com o maior entre x e y. Assim a identidade está provada.

Resposta

\displaystyle \max\{x,y\} = \frac{1}{2}\bigl(x+y+|x-y|\bigr).

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