Mostre que se p é primo e p divide um produto a_{1} a_{2} \cdots a_{n} então p \mid a_{j} para algum j. Conclua, em particular, que se p \mid a^{k}, k \geq 2, então p \mid a.

Passo 1

O enunciado dá que p é primo e que p divide o produto a_{1}a_{2}\cdots a_{n}. Pede para provar que existe algum índice j tal que p\mid a_{j}.
Pede também a consequência particular: se p\mid a^{k} com k\ge 2, então provar que p\mid a.

Passo 2

Vou lembrar (de forma curta e didática) alguns conceitos e uma ferramenta que usarei: divisibilidade, primo e a identidade de Bézout.
Definições/observações importantes:
  • Dizemos que um inteiro d divide um inteiro m e escrevemos d\mid m quando existe um inteiro t tal que m=dt.
  • Um inteiro p>1 é primo quando seus únicos divisores positivos são 1 e p.
  • Se p é primo e p\nmid a, então \gcd(a,p)=1. Isto porque qualquer divisor comum de a e p deve dividir p, então só pode ser 1 ou p; se p\nmid a só sobra 1.
  • Identidade de Bézout (fato útil): se \gcd(u,v)=1 então existem inteiros x,y tais que ux+vy=1. Esse fato pode ser obtido pelo algoritmo de Euclides estendido; aqui eu uso apenas o que ele garante, sem fazer o algoritmo inteiro. Exemplo numérico rápido: para u=2 e v=3 temos 2\cdot 2 + 3\cdot(-1)=1.

Passo 3

Prova do caso base n=2 (produto de dois fatores).
Seja p primo e suponha que p\mid ab. Há duas possibilidades:
  • Se p\mid a então já terminamos (tomamos j tal que a_j=a).
  • Se p\nmid a então, como expliquei antes, \gcd(a,p)=1. Pela identidade de Bézout existem inteiros x,y tais que
ax+py=1.
Multiplicando essa igualdade por b obtemos
abx+pby=b.
Agora observe: p\mid ab pela hipótese, portanto p\mid abx; e é claro p\mid pby. Então p divide a soma abx+pby, isto é, p\mid b. Logo, neste caso p\mid b.
Conclusão do caso n=2: se p\mid ab então p\mid a ou p\mid b.

Passo 4

Prova por indução para produto de n fatores.
Já provamos o caso n=2. Agora suponha que a afirmação é verdadeira para qualquer produto de n-1 fatores: isto é, se p\mid a_{1}\cdots a_{n-1} então p divide um dos a_{1},\dots,a_{n-1}. Vou provar a afirmação para n fatores.
Defina A:=a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1}. Consideramos o produto A\cdot a_{n}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n} e sabemos que p\mid A\cdot a_{n}. Aplicando o caso n=2 (produto de dois fatores A e a_{n}), concluímos que ou p\mid A ou p\mid a_{n}.
  • Se p\mid a_{n} então já encontramos um j j=n) com p\mid a_{j}.
  • Se p\mid A então, pela hipótese de indução (caso n-1), existe algum j\in\{1,\dots,n-1\} tal que p\mid a_{j}.
    Em ambos os ramos concluímos que existe algum índice j com p\mid a_{j}. Isso completa a prova por indução para todo n\ge 2.

Passo 5

Conclusão da consequência pedida: se p\mid a^{k} com k\ge 2, observe que
a^{k}= \underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}_{k\\ \text{fatores}}.
Aplicando o resultado já provado ao produto de k fatores iguais a a, obtemos que p divide pelo menos um dos fatores a. Mas todos os fatores são iguais a a, logo p\mid a. Isto prova a consequência.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a ideia: tome p=5 e o produto 6\cdot 10\cdot 7=420. Como 5\mid 420, a afirmação garante que 5 divide algum dos fatores; de fato 5\mid 10. Isso é exatamente o que a prova garante em geral. Você consegue aplicar o mesmo raciocínio em outros exemplos — vai ficando automático com prática!

Resposta

Seja p primo e p\mid a_{1}a_{2}\cdots a_{n}. Então existe j tal que p\mid a_{j}.
Em particular, se p\mid a^{k} com k\ge 2, então p\mid a.

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