Mostre que se
e
são duas probabilidades então
é uma probabilidade, onde
e
. Forneça um exemplo concreto de uma mistura deste tipo.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos duas medidas de probabilidade
e
definidas em um mesmo espaço mensurável
. Queremos mostrar que a combinação convexa
com
e
, é também uma medida de probabilidade. Para isso, vamos usar as propriedades de não-negatividade, aditividade contável e normalização de medidas.
Passo 2
Prova de não-negatividade e aditividade contável: para qualquer evento
temos
pois
e
. Se
é uma família de eventos disjuntos, pela linearidade das medidas surge
Passo 3
Verificação da normalização: basta observar que
Portanto
satisfaz todas as propriedades de uma medida de probabilidade.
Passo 4
Exemplo concreto: seja o espaço de resultados de uma moeda
. Defina
e escolha
,
. Então a mistura
satisfaz
Passo 5
Assim mostramos que
é uma probabilidade e demos um exemplo de mistura concreta.
Resposta
A medida definida por
com
e
satisfaz não-negatividade, aditividade contável e
, logo é uma probabilidade. Um exemplo concreto é em
com
,
e
, que gera
e
.