Mostre que se P e Q são duas probabilidades então a P+b Q é uma probabilidade, onde a, b >= 0 e a+b=1. Forneça um exemplo concreto de uma mistura deste tipo.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas medidas de probabilidade P e Q definidas em um mesmo espaço mensurável (Omega,F). Queremos mostrar que a combinação convexa
mu = a,P + b,Q,
com a,b>=0 e a+b=1, é também uma medida de probabilidade. Para isso, vamos usar as propriedades de não-negatividade, aditividade contável e normalização de medidas.

Passo 2

Prova de não-negatividade e aditividade contável: para qualquer evento AinF temos
mu(A)=a,P(A)+b,Q(A)>=0,
pois a,b>=0 e P(A),Q(A)>=0. Se (Ai)i=1^infty é uma família de eventos disjuntos, pela linearidade das medidas surge
mul(cupi=1^infty Air) = a,Pl(cupi Air) + b,Ql(cupi Air) = asumi=1^inftyP(Ai) + bsumi=1^inftyQ(Ai) = sumi=1^inftyl(a,P(Ai)+b,Q(Ai)r) = sumi=1^inftymu(Ai)

Passo 3

Verificação da normalização: basta observar que
mu(Omega)=a,P(Omega)+b,Q(Omega)=a+b=1
Portanto mu satisfaz todas as propriedades de uma medida de probabilidade.

Passo 4

Exemplo concreto: seja o espaço de resultados de uma moeda Omega=H,T. Defina
P(H)=tfrac12,;P(T)=tfrac12, Q(H)=1,;Q(T)=0,
e escolha a=0.6, b=0.4. Então a mistura mu=0.6,P+0.4,Q satisfaz
mu(H)=0.6cdottfrac12+0.4cdot1=0.7,
mu(T)=0.6cdottfrac12+0.4cdot0=0.3

Passo 5

Assim mostramos que aP+bQ é uma probabilidade e demos um exemplo de mistura concreta.

Resposta

A medida definida por mu=a,P+b,Q com a,b>=0 e a+b=1 satisfaz não-negatividade, aditividade contável e mu(Omega)=1, logo é uma probabilidade. Um exemplo concreto é em Omega=H,T com
P(H)=P(T)=0.5, Q(H)=1,Q(T)=0 e a=0.6, b=0.4, que gera mu(H)=0.7 e mu(T)=0.3.

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