Mostre que
se e somente se
e que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas equivalências envolvendo funções indicadoras: primeiro que
se e somente se
e depois que
se e somente se
. Vamos usar a definição de função indicadora e argumentar caso a caso.
Passo 2
Definimos a função indicadora de um conjunto
por:
Com isso, mostramos que se
então para todo
:
- Se
, então , logo e , de onde . - Se
, então e , logo .
Assim.
Passo 3
Agora o recíproco: suponha
. Se
então
e, pela hipótese,
. Mas
só pode ser 0 ou 1, logo vale
e assim
. Concluímos
.
Passo 4
Para a segunda equivalência, note que se
não existe
que pertença a ambos. Logo nunca ocorre
e
ao mesmo tempo, o que implica
para todo
. Assim
.
Passo 5
No sentido inverso, se
para todo
, não há ponto em que ambos sejam 1 simultaneamente. Isso significa que não existe
em
, logo
.
Resposta
Mostramos que
se e somente se
e que
se e somente se
.