Mostre que A subset B se e somente se 1A <= 1B ; e que A cap B=emptyset se, e somente se, 1A 1B=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas equivalências envolvendo funções indicadoras: primeiro que Asubset B se e somente se 1A<=1B e depois que Acap B=emptyset se e somente se 1A,1B=0. Vamos usar a definição de função indicadora e argumentar caso a caso.

Passo 2

Definimos a função indicadora de um conjunto A por:
1A(x)= 1,&xin A, 0,&xnotin A
Com isso, mostramos que se Asubset B então para todo x:
  • Se xin A, então xin B, logo 1A(x)=1 e 1B(x)=1, de onde 1A(x)<=1B(x).
  • Se xnotin A, então 1A(x)=0 e 1B(x)>=0, logo 1A(x)<=1B(x).
    Assim 1A<=1B.

Passo 3

Agora o recíproco: suponha 1A<=1B. Se xin A então 1A(x)=1 e, pela hipótese, 1B(x)>=1. Mas 1B(x) só pode ser 0 ou 1, logo vale 1B(x)=1 e assim xin B. Concluímos Asubset B.

Passo 4

Para a segunda equivalência, note que se Acap B=emptyset não existe x que pertença a ambos. Logo nunca ocorre 1A(x)=1 e 1B(x)=1 ao mesmo tempo, o que implica 1A(x),1B(x)=0 para todo x. Assim 1A,1B=0.

Passo 5

No sentido inverso, se 1A(x),1B(x)=0 para todo x, não há ponto em que ambos sejam 1 simultaneamente. Isso significa que não existe x em Acap B, logo Acap B=emptyset.

Resposta

Mostramos que Asubset B se e somente se 1A<=1B e que Acap B=emptyset se e somente se 1A,1B=0.

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