Prove que .

Passo 1

O enunciado pede para provar que a probabilidade de ocorrer o evento E sem o evento F é igual à probabilidade de E menos a probabilidade de E e F ocorrerem juntos. O conteúdo aqui é probabilidade de eventos, usando união disjunta e complemento.

Passo 2

Sabendo que qualquer evento E pode ser particionado em duas partes disjuntas — a parte que ocorre em F e a parte que ocorre fora de F — escrevemos
E = (E cap F) cup (E cap F^comp<=ment)
e essas duas partes são disjuntas pois não há interseção entre ocorrer em F e não ocorrer em F.

Passo 3

Pela propriedade de aditividade da probabilidade para eventos disjuntos, temos
P[E] = P[E cap F] + P[E cap F^comp<=ment]

Passo 4

Isolando P[E cap F^comp<=ment] nessa igualdade, obtemos
P[E cap F^comp<=ment] = P[E] - P[E cap F], que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

P[E cap F^comp<=ment] = P[E] - P[E cap F].

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