Se P é uma probabilidade, que axiomas satisfazem P / 2 e P^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos quais dos axiomas de probabilidade (não-negatividade, normalização e aditividade σ) são satisfeitos pelas funções P/2 e P^2, sabendo que P já é uma medida de probabilidade.

Passo 2

Axioma de não-negatividade (A1): para todo evento A, P(A)>=0. Axioma de normalização (A2): P(Omega)=1. Axioma de aditividade σ (A3): para qualquer sequência disjunta (Ai)i=1^infty, vale P(cupiAi)=sumiP(Ai).

Passo 3

Analisando P/2: como P(A)>=0 então P(A)/2>=0, logo A1 vale. Também, para união contável de disjuntos,

então A3 vale. Mas
Pl(cupiAi)2=12sumiP(Ai)=sumiP(Ai)2,
logo A2 falha.

Passo 4

Agora P^2: temos P(A)^2>=0, então A1 vale; além disso
P^2(Omega)=P(Omega)^2=1^2=1,
então A2 vale. Porém, se (Ai) são disjuntos, em geral
logo A3 falha.

Resposta

P/2 satisfaz A1 (não-negatividade) e A3 (aditividade σ), mas não A2 (normalização).
P^2 satisfaz A1 e A2, mas não A3.

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