Mostre que se
e
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se a probabilidade do complemento de $ A $ é $ x $ e a probabilidade do complemento de $ B $ é $ y $, então a probabilidade da interseção de $ A $ e $ B $ é pelo menos $ 1 - x - y $. Vamos usar conceitos de probabilidade básica, como complemento e a relação entre união e interseção de eventos, para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o complemento de um evento. Se $ A $ é um evento, então seu complemento $ A^c $ representa todos os resultados que não estão em $ A $. A probabilidade do complemento é dada por:
Dado que $ P(A^c) = x $, podemos escrever:
Passo 3
Da mesma forma, para o evento $ B $:
Como $ P(B^c) = y $, temos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de ambos os eventos $ A $ e $ B $ acontecerem simultaneamente. Vamos usar a relação entre união e interseção:
Mas também sabemos que:
Isso porque a probabilidade de qualquer evento não pode ser maior que 1.
Passo 5
Substituindo a primeira equação na segunda, temos:
Substituindo $ P(A) = 1 - x $ e $ P(B) = 1 - y $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ P(A \cap B) $:
Ou seja:
Resposta
Então, mostramos que: