Mostre que se P(A^wed>= c)=x e p(B^wed>= c)=y, então P(A cap B) >= 1-x-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se a probabilidade do complemento de $ A $ é $ x $ e a probabilidade do complemento de $ B $ é $ y $, então a probabilidade da interseção de $ A $ e $ B $ é pelo menos $ 1 - x - y $. Vamos usar conceitos de probabilidade básica, como complemento e a relação entre união e interseção de eventos, para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o complemento de um evento. Se $ A $ é um evento, então seu complemento $ A^c $ representa todos os resultados que não estão em $ A $. A probabilidade do complemento é dada por:
A
Dado que $ P(A^c) = x $, podemos escrever:
A^c

Passo 3

Da mesma forma, para o evento $ B $:
B
Como $ P(B^c) = y $, temos:
P(B^c) = 1 - P(B)

Passo 4

Agora, queremos encontrar $ P(A \cap B) $, que é a probabilidade de ambos os eventos $ A $ e $ B $ acontecerem simultaneamente. Vamos usar a relação entre união e interseção:
P(A cap B)
Mas também sabemos que:
A
Isso porque a probabilidade de qualquer evento não pode ser maior que 1.

Passo 5

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:
P(A) + P(B) - P(A cap B) <= 1
Substituindo $ P(A) = 1 - x $ e $ P(B) = 1 - y $:
P(A) = 1 - x
Simplificando:
P(B) = 1 - y

Passo 6

Agora, vamos isolar $ P(A \cap B) $:
P(A cap B)
2 - x - y - 1 <= P(A cap B)
Ou seja:
1 - x - y <= P(A cap B)

Resposta

Então, mostramos que:
P(A cap B) >= 1 - x - y

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