Se P(A)=1 / 3 e P(B^wed>= C)=1 / 4, os eventos A e B podem ser mutuamente exclusivos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas probabilidades: $ P(A) = \frac{1}{3} $ e $ P(B \wedge C) = \frac{1}{4} $. A pergunta é: os eventos $ A $ e $ B $ podem ser mutuamente exclusivos? Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa eventos serem mutuamente exclusivos. Dois eventos são mutuamente exclusivos se eles não podem acontecer ao mesmo tempo. Em termos de probabilidade, isso significa que $ P(A \wedge B) = 0 $.

Passo 3

Sabemos que $ P(A) = \frac{1}{3} $. Se $ A $ e $ B $ forem mutuamente exclusivos, então a probabilidade de $ A $ ou $ B $ acontecerem juntos é a soma das probabilidades individuais:
P(A) = 13
Como $ P(A \wedge B) = 0 $.

Passo 4

Agora, a questão também nos dá $ P(B \wedge C) = \frac{1}{4} $. Isso nos diz que a parte de $ B $ que também acontece com $ C $ tem essa probabilidade. Mas isso não impede $ B $ de acontecer sem $ A $.

Passo 5

Para verificar se $ A $ e $ B $ podem ser mutuamente exclusivos, precisamos garantir que não há sobreposição entre eles. Dado que $ P(B \wedge C) = \frac{1}{4} $, ainda podemos ter $ P(B) \geq \frac{1}{4} $. Entretanto, isso não conflita com $ P(A) = \frac{1}{3} $, pois as probabilidades são independentes.

Passo 6

Não há nenhuma informação que sugira que $ A $ e $ B $ devem ter alguma sobreposição. Portanto, é perfeitamente possível que $ A $ e $ B $ sejam mutuamente exclusivos.

Resposta

Sim, os eventos $ A $ e $ B $ podem ser mutuamente exclusivos.

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