Um restaurante popular apresenta dois tipos de refeições: salada completa e um prato a base de carne. 20% dos fregueses do sexo masculino preferem a salada, e 30% das mulheres preferem carne. 74 % dos fregueses são homens. Considere os seguintes eventos: H=0 freguês é homem , M=O freguês é mulher , A=0 freguês prefere a salada e B= {o freguês prefere carne}. Calcule:
a) P(A cup B);
b) P(M / A);
c) P(A / H);
d) P(B / H).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um restaurante que serve dois tipos de refeição: salada completa e prato à base de carne. Sabemos que:
  • 74% dos clientes são homens ( P(H) = 0,74).
  • 26% são mulheres ( P(M) = 1 - P(H) = 0,26).
  • 20% dos homens preferem salada ( P(A|H) = 0,20).
  • 30% das mulheres preferem carne ( P(B|M) = 0,30).
O que precisamos fazer aqui envolve probabilidade e probabilidades condicionais. Vamos calcular as probabilidades pedidas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os eventos:
  • A: cliente prefere salada.
  • B: cliente prefere carne.
  • H: cliente é homem.
  • M: cliente é mulher.
Percebemos que cada cliente é homem ou mulher, e prefere ou salada ou carne.

Passo 3

Vamos lembrar que a probabilidade total de um evento é a soma das probabilidades de todos os caminhos que levam a ele. Para o item a) P(A cup B), queremos a probabilidade de um cliente preferir salada ou carne.
Como essas são as únicas opções, P(A cup B) = 1. Mas vamos verificar isso detalhadamente.

Passo 4

Para ter certeza, vamos calcular P(A cup B) usando a fórmula:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Como um cliente não pode preferir salada e carne ao mesmo tempo, P(A cap B) = 0. Então:
P(A cup B) = P(A) + P(B)

Passo 5

Calculando P(A) e P(B) separadamente:
P(A) = P(A|H)P(H) + P(A|M)P(M)
Sabemos que P(A|H) = 0,20, mas precisamos de P(A|M). Como 30% das mulheres preferem carne, então 70% preferem salada:
P(A|M) = 1 - P(B|M) = 1 - 0,30 = 0,70
Agora:
P(A) = 0,20 times 0,74 + 0,70 times 0,26 = 0,148 + 0,182 = 0,33

Passo 6

Agora, calculamos P(B) da mesma forma:
P(B) = P(B|H)P(H) + P(B|M)P(M)
Para os homens, se 20% preferem salada, então 80% preferem carne:
P(B|H) = 1 - P(A|H) = 1 - 0,20 = 0,80
Então:
P(B) = 0,80 times 0,74 + 0,30 times 0,26 = 0,592 + 0,078 = 0,670

Passo 7

Agora, voltando à nossa fórmula inicial:
P(A cup B) = P(A) + P(B) = 0,33 + 0,670 = 1,00
Como esperávamos, a soma dá 1, confirmando que todas as opções estão cobertas.

Resposta

a) P(A cup B) = 1,00

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