Seja F um corpo.
Seja p(x)=an x^n+an-1 x^n-1+ldots+a1 x+a0. Prove que a função phi0: F[x] F definida por phi0(p(x))=a0 é um homomorfismo.
Determine o núcleo de phi0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação phi0: F[x]to F, definida por phi0(p(x))=a0 (o coeficiente constante de p), é um homomorfismo de anéis e depois determinar o núcleo de phi0. O conteúdo é teoria de homomorfismos de anéis e ideais, e vamos usar as definições de preservação de soma, produto e unidade.

Passo 2

Vamos checar a preservação da soma. Tomemos p(x)=anx^n+cdots+a1x+a0 e q(x)=bmx^m+cdots+b1x+b0. Então
p(x)+q(x)=(anx^n+cdots+a1x+a0)+(bmx^m+cdots+b1x+b0) =(ldots)x^k+l(a0+b0r)
O coeficiente constante de p+q é a0+b0, logo
phi0(p+q)=a0+b0=phi0(p)+phi0(q)

Passo 3

Agora, para o produto, escrevemos
p(x),q(x)=l(anx^n+cdots+a1x+a0r)cdotl(bmx^m+cdots+b1x+b0r)
O termo de grau zero em p(x)q(x) vem apenas de a0cdot b0. Assim
phi0(pq)=a0,b0=phi0(p),phi0(q)

Passo 4

Verificamos também que phi0(1)=1, pois o polinômio unidade é 1 (constante), cujo coeficiente constante é 1. Portanto, phi0 preserva soma, produto e unidade, isto é, é um homomorfismo de anéis.

Passo 5

O núcleo de phi0 é
ker(phi0)=p(x)in F[x]midphi0(p(x))=0
Como phi0(p)=a0, temos phi0(p)=0 se e somente se o coeficiente constante a0=0. Um polinômio tem coeficiente constante zero exatamente quando é múltiplo de x.

Resposta

ker(phi0)=p(x)in F[x]mid p(0)=0=x,F[x].

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