Seja
um corpo.
Seja
. Prove que a função
definida por
é um homomorfismo.
Determine o núcleo de
.
Seja
Determine o núcleo de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
, definida por
(o coeficiente constante de
), é um homomorfismo de anéis e depois determinar o núcleo de
. O conteúdo é teoria de homomorfismos de anéis e ideais, e vamos usar as definições de preservação de soma, produto e unidade.
Passo 2
Vamos checar a preservação da soma. Tomemos
e
. Então
O coeficiente constante de
é
, logo
Passo 3
Agora, para o produto, escrevemos
O termo de grau zero em
vem apenas de
. Assim
Passo 4
Verificamos também que
, pois o polinômio unidade é
(constante), cujo coeficiente constante é 1. Portanto,
preserva soma, produto e unidade, isto é, é um homomorfismo de anéis.
Passo 5
O núcleo de
é
Como
, temos
se e somente se o coeficiente constante
. Um polinômio tem coeficiente constante zero exatamente quando é múltiplo de
.