Mostre que, se uma partícula se move com velocidade escalar constante, então os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
37-42
Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
37. r(t)=(3 t-t^3) i+3 t^2 j

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, mostrar que se uma partícula se move com velocidade escalar constante, então os vetores velocidade v e aceleração a são ortogonais. Depois, para a trajetória
r(t) = l(3t - t^3r),i + 3t^2,j,
calcular as componentes tangencial aT e normal aN do vetor aceleração. Vamos usar a definição de velocidade e aceleração em termos de derivadas de r(t), além das fórmulas
aT = ddtllVert vrrVert e aN = raizlVert arVert^2 - aT^2,

Passo 2

Suponha que a velocidade escalar lVert v(t)rVert seja constante, digamos igual a c. Então
lVert v(t)rVert^2 = c^2
é constante e, diferenciando em t, obtemos
ddtl(vcdot vr) = 2,vcdot a = 0
Logo vcdot a=0, isto é, v e a são ortogonais.

Passo 3

Agora calculamos velocidade e aceleração para r(t).
Diferenciando,
v(t) = r'(t) = l(3 - 3t^2r),i + 6t,j,
a(t) = r''(t) = -6t,i + 6,j

Passo 4

A magnitude da velocidade é
lVert v(t)rVert = raiz(3-3t^2)^2 + (6t)^2 = raiz9 -18t^2 +9t^4 +36t^2 = raiz9 +18t^2 +9t^4 = 3,(1+t^2)

Passo 5

A componente tangencial da aceleração é
aT = ddtlVert v(t)rVert = ddtl[3(1+t^2)r] = 6t

Passo 6

Para a componente normal, usamos
aN = raizlVert a(t)rVert^2 - aT^2
Calculamos
lVert a(t)rVert^2 = (-6t)^2 + 6^2 = 36t^2 +36 =36(1+t^2),
aT^2 = (6t)^2 =36t^2,
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aN = raiz36(1+t^2) -36t^2 = raiz36 =6

Resposta

Para a partícula com r(t) = (3t - t^3),i + 3t^2,j, as componentes do vetor aceleração são
aT = 6t, aN = 6

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