Sabendo que
. Os intervalos onde
é côncava para cima e côncava para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais intervalos a função
é côncava para cima e para baixo, sabendo que a segunda derivada dela é
. Isso está no campo da Cálculo 2, mais especificamente no estudo de concavidade usando a segunda derivada. Para resolver, vamos precisar analisar os sinais da segunda derivada para determinar a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a concavidade de uma função. Uma função é côncava para cima em um intervalo se a segunda derivada
for positiva nesse intervalo, e côncava para baixo se
for negativa. Então, nosso objetivo é descobrir onde
e onde
.
Passo 3
Vamos analisar a expressão da segunda derivada:
Primeiro, observamos o denominador
. Como qualquer número elevado a uma potência par é positivo (exceto quando a base é zero),
sempre será positivo para
.
Portanto, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Passo 4
Vamos encontrar quando o numerador é positivo ou negativo:
Então:
-
Quando
, o numerador é positivo, e como o denominador é sempre positivo, . Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo. -
Quando
, o numerador é negativo, e com o denominador positivo, . Assim, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Além disso, devemos lembrar que
não está no domínio da função, então devemos excluir esse ponto.
Resposta
- Côncava para cima:
- Côncava para baixo:
(com )