Sabendo que f^prime prime(x)=-8 x-2(x-2)^4. Os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais intervalos a função f é côncava para cima e para baixo, sabendo que a segunda derivada dela é f''(x) = -8x - 2(x - 2)^4 . Isso está no campo da Cálculo 2, mais especificamente no estudo de concavidade usando a segunda derivada. Para resolver, vamos precisar analisar os sinais da segunda derivada para determinar a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a concavidade de uma função. Uma função é côncava para cima em um intervalo se a segunda derivada f''(x) for positiva nesse intervalo, e côncava para baixo se f''(x) for negativa. Então, nosso objetivo é descobrir onde f''(x) > 0 e onde f''(x) < 0 .

Passo 3

Vamos analisar a expressão da segunda derivada:
f''(x) = -8x - 2(x - 2)^4
Primeiro, observamos o denominador (x - 2)^4 . Como qualquer número elevado a uma potência par é positivo (exceto quando a base é zero), (x - 2)^4 sempre será positivo para x neq 2 .
Portanto, o sinal de f''(x) depende apenas do numerador -8x - 2 .

Passo 4

Vamos encontrar quando o numerador é positivo ou negativo:
-8x - 2 > 0 Rightarrow -8x > 2 Rightarrow x < -28 Rightarrow x < -14
-8x - 2 < 0 Rightarrow -8x < 2 Rightarrow x > -14
Então:
  • Quando x < -14 , o numerador -8x - 2 é positivo, e como o denominador é sempre positivo, f''(x) > 0 . Portanto, a função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Quando x > -14 , o numerador -8x - 2 é negativo, e com o denominador positivo, f''(x) < 0 . Assim, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Além disso, devemos lembrar que x = 2 não está no domínio da função, então devemos excluir esse ponto.

Resposta

  • Côncava para cima: x < -14
  • Côncava para baixo: x > -14 (com x neq 2 )

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