Resolva o problema de valor iniciado dado: y^prime prime-4 y^prime+4 y=0; y(1)=1, y^prime(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
y'' - 4y' + 4y = 0
E as condições iniciais são:
y(1) = 1, y'(1) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo y'' por r^2 , y' por r e y por 1:
r^2 - 4r + 4 = 0
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r .

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 - 4r + 4 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 42 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 162 = 4 pm 02 = 2
Encontramos uma raiz real dupla: r = 2 .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla r = 2 , a forma da solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^2x
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos usar a primeira condição inicial y(1) = 1 . Substituindo x = 1 na solução geral:
1 = (C1 + C2 cdot 1) e^2 cdot 1 1 = (C1 + C2) e^2
Vamos chamar essa equação de (1).

Passo 6

Precisamos também da derivada da solução para usar a segunda condição inicial y'(1) = 1 . Vamos derivar y(x) :
y'(x) = ddx [ (C1 + C2 x) e^2x ] y'(x) = C2 e^2x + (C1 + C2 x) cdot 2 e^2x y'(x) = (C2 + 2C1 + 2C2 x) e^2x
Agora, substituindo x = 1 :
1 = (C2 + 2C1 + 2C2 cdot 1) e^2 1 = (2C1 + 3C2) e^2
Vamos chamar essa equação de (2).

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações:
  1. (C1 + C2) e^2 = 1
  2. (2C1 + 3C2) e^2 = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar C1 e C2 .
Primeiro, dividimos ambas as equações por e^2 :
  1. C1 + C2 = 1e^2
  2. 2C1 + 3C2 = 1e^2
Agora, vamos resolver o sistema.

Passo 8

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2C1 + 3C2) - (C1 + C2) = 1e^2 - 1e^2 C1 + 2C2 = 0
Então:
C1 = -2C2
Agora, substituímos C1 na primeira equação:
-2C2 + C2 = 1e^2 - C2 = 1e^2 C2 = -1e^2
E, consequentemente:
C1 = -2 ( -1e^2 ) = 2e^2

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(x) = ( 2e^2 - 1e^2 x ) e^2x
Simplificando:
y(x) = 2 - xe^2 cdot e^2x = (2 - x) e^2(x - 1)

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