Resolva o problema de valor iniciado dado:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1:
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Encontramos uma raiz real dupla:
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla
, a forma da solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos usar a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Vamos chamar essa equação de (1).
Passo 6
Precisamos também da derivada da solução para usar a segunda condição inicial
. Vamos derivar
:
Agora, substituindo
:
Vamos chamar essa equação de (2).
Passo 7
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Primeiro, dividimos ambas as equações por
:
Agora, vamos resolver o sistema.
Passo 8
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então:
Agora, substituímos
na primeira equação:
E, consequentemente:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Simplificando: