Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana parametrizada x=f(t), y=g(t) é
kappa=|dotx ddoty-doty ddotx|[dotx^2+doty^2]^3 / 2
onde os pontos indicam as derivadas em relação a t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curvatura de uma curva plana parametrizada por x=f(t), y=g(t) é
kappa=|dot x,ddot y-dot y,ddot x|(dot x^2+dot y^2)^3/2
O conteúdo aqui é geometria diferencial de curvas e vamos usar o Teorema 10, que afirma que, para uma curva em R^3 definida por r(t),
kappa=|r'times r''||r'|^3

Passo 2

Como a curva é planar, embutimos em R^3 definindo
r(t)=(f(t),,g(t),,0)
Então suas derivadas são
r'(t)=(dot x,,dot y,,0),
r''(t)=(ddot x,,ddot y,,0)
O produto vetorial vale
r'(t)times r''(t)=(0,0,dot x,ddot y-dot y,ddot x),
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|r'times r''|=|dot x,ddot y-dot y,ddot x|
e
|r'|=raizdot x^2+dot y^2

Passo 3

Aplicando o Teorema 10 e substituindo os valores obtidos, temos
kappa=|r'times r''||r'|^3 =|dot x,ddot y-dot y,ddot x|(dot x^2+dot y^2)^3/2,
que é exatamente a fórmula desejada.

Resposta

kappa=|dot x,ddot y-dot y,ddot x|(dot x^2+dot y^2)^3/2.

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