Use o Teorema 10 para mostrar que a curvatura da curva plana parametrizada
é
onde os pontos indicam as derivadas em relação a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a curvatura de uma curva plana parametrizada por
é
O conteúdo aqui é geometria diferencial de curvas e vamos usar o Teorema 10, que afirma que, para uma curva em
definida por
,
Passo 2
Como a curva é planar, embutimos em
definindo
Então suas derivadas são
O produto vetorial vale
logo
e
e
Passo 3
Aplicando o Teorema 10 e substituindo os valores obtidos, temos
que é exatamente a fórmula desejada.