Mostre a partir da definição de derivada que
a) d/dx cos(x) = -sen(x)
b) d/dx sen(x) = cos(x)

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que mostrar, usando a definição de derivada, que:
a) A derivada de é .
b) A derivada de é .
Para isso, vamos precisar usar a definição de derivada e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada para uma função f(x):
Vamos aplicar isso para e depois para .

Passo 3

Vamos começar com a parte a) onde . Aplicando a definição:

Passo 4

Utilizamos a identidade trigonométrica para :
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 5

Simplificamos a expressão:
Agora, separamos os termos:

Passo 6

Sabemos que:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos para a parte b) onde . Usamos novamente a definição de derivada:

Passo 8

Utilizamos a identidade trigonométrica para :
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 9

Simplificamos a expressão:
Agora, separamos os termos:

Passo 10

Utilizamos os mesmos limites que vimos antes:
Portanto:

Resposta

b)

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