Mostre a partir da definição de derivada que
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que mostrar, usando a definição de derivada, que:
a) A derivada de é
.
b) A derivada de é
.
Para isso, vamos precisar usar a definição de derivada e algumas identidades trigonométricas básicas.
a) A derivada de
b) A derivada de
Para isso, vamos precisar usar a definição de derivada e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada para uma função
:
Vamos aplicar isso para
e depois para
.
Passo 3
Vamos começar com a parte a) onde
. Aplicando a definição:
Passo 4
Utilizamos a identidade trigonométrica para
:
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 5
Simplificamos a expressão:
Agora, separamos os termos:
Passo 6
Sabemos que:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b) onde
. Usamos novamente a definição de derivada:
Passo 8
Utilizamos a identidade trigonométrica para
:
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 9
Simplificamos a expressão:
Agora, separamos os termos:
Passo 10
Utilizamos os mesmos limites que vimos antes:
Portanto:
Resposta
b)