Prove que
a) d/dx cossec(x) = -cossec(x) cotg(x)
b) d/dx(sec(x)) = sec(x) * tg(x)

Passo 1

Vamos resolver dois exercícios de derivadas envolvendo funções trigonométricas. No primeiro, vamos encontrar a derivada de , e no segundo, a derivada de . Para isso, precisaremos conhecer as regras de derivação de funções trigonométricas e aplicar as fórmulas apropriadas passo a passo.

Passo 2

a) Calculando a derivada de
Primeiro, vamos lembrar que a função é o inverso de , ou seja:

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada dessa função, usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vou usar a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a x é , onde .

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos reescrever usando as funções trigonométricas e :

Passo 7

b) Calculando a derivada de
A função é definida como:

Passo 8

Para encontrar a derivada de , usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de em relação a x é , onde .

Passo 9

Calculando :

Passo 10

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 11

Agora, vamos reescrever usando as funções trigonométricas e :

Resposta

a)
b)

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