Prove que
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver dois exercícios de derivadas envolvendo funções trigonométricas. No primeiro, vamos encontrar a derivada de
, e no segundo, a derivada de
. Para isso, precisaremos conhecer as regras de derivação de funções trigonométricas e aplicar as fórmulas apropriadas passo a passo.
Passo 2
a) Calculando a derivada de
Primeiro, vamos lembrar que a função
é o inverso de
, ou seja:
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada dessa função, usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vou usar a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos reescrever
usando as funções trigonométricas
e
:
Passo 7
b) Calculando a derivada de
A função
é definida como:
Passo 8
Para encontrar a derivada de
, usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 9
Calculando
:
Passo 10
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 11
Agora, vamos reescrever
usando as funções trigonométricas
e
:
Resposta
a)
b)