Mostre que o plano complexo é um conjunto aberto. Em seguida, conclua que seu complemento é fechado.
Passo 1
O enunciado está no contexto de topologia em espaço métrico, aqui o espaço métrico é
com a distância usual
. Precisamos usar a definição de conjunto aberto: um subconjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que a bola aberta
fica inteiramente em
. Depois, aplicaremos a propriedade de que o complemento de um aberto é fechado.
Passo 2
Seja um ponto arbitrário
. Tome qualquer raio
. Por definição
Como
contém todos os complexos, temos imediatamente
. Logo em volta de cada
existe uma bola aberta contida em
, o que mostra que
é um conjunto aberto.
Passo 3
Em qualquer espaço topológico (ou métrico) vale o fato de que o complemento de um conjunto aberto é fechado. Como já vimos que
é aberto em si mesmo, seu complemento no espaço
é
e sabe-se que o conjunto vazio
é fechado.
Resposta
O plano complexo
é um conjunto aberto e, consequentemente, seu complemento (o conjunto vazio) é fechado.