Mostre que o plano complexo é um conjunto aberto. Em seguida, conclua que seu complemento é fechado.

Passo 1

O enunciado está no contexto de topologia em espaço métrico, aqui o espaço métrico é C com a distância usual lvert z-wrvert. Precisamos usar a definição de conjunto aberto: um subconjunto UsubsetC é aberto se, para todo ponto zin U, existe r>0 tal que a bola aberta
D(z,r)=winCmid |w-z|<r
fica inteiramente em U. Depois, aplicaremos a propriedade de que o complemento de um aberto é fechado.

Passo 2

Seja um ponto arbitrário z0inC. Tome qualquer raio r>0. Por definição
D(z0,r)=winCmid |w-z0|<r
Como C contém todos os complexos, temos imediatamente D(z0,r)subsetC. Logo em volta de cada z0 existe uma bola aberta contida em C, o que mostra que C é um conjunto aberto.

Passo 3

Em qualquer espaço topológico (ou métrico) vale o fato de que o complemento de um conjunto aberto é fechado. Como já vimos que C é aberto em si mesmo, seu complemento no espaço C é
C^c=emptyset,
e sabe-se que o conjunto vazio emptyset é fechado.

Resposta

O plano complexo C é um conjunto aberto e, consequentemente, seu complemento (o conjunto vazio) é fechado.

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