Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação T e verifique se T é injetiva e sobrejetiva:
T: \mathrm{M}_{2}\left(\mathbb{R}^{\mathrm{W}}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T\left(\left(\begin{array}{ll}\mathrm{a} & \mathrm{b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{d}\end{array}\right)\right)=(a+b, a-3 b, 0).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
T\colon M_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{3}
por
T\bigl(\begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix}\bigr) = (\,a+b,\;a-3b,\;0\,).
O conteúdo é subespaços (imagem e núcleo), bases, dimensões e critérios de injetividade e sobrejetividade. Para resolver, usaremos o Teorema da Dimensão (núcle o+image m=dimensão do domínio), cálculo de T em matrizes-canônicas e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Definimos as matrizes-canônicas de M_{2}(\mathbb{R}):
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Calculamos
T(E_{11})=(1+0,\;1-0,\;0)=(1,1,0),
T(E_{12})=(0+1,\;0-3,\;0)=(1,-3,0),
T(E_{21})=(0+0,\;0-0,\;0)=(0,0,0), \quad T(E_{22})=(0+0,\;0-0,\;0)=(0,0,0).

Passo 3

A imagem de T é gerada por \{T(E_{11}),T(E_{12})\}, pois os outros enviam zero. Logo
\mathrm{Im}\,T = \operatorname{span}\{(1,1,0),\;(1,-3,0)\}.
Esses vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}, então
\dim(\mathrm{Im}\,T)=2.

Passo 4

Para o núcleo, impomos
T\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr)=(0,0,0) \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} a+b=0,\\\ a-3b=0. \end{cases}
Da segunda equação a=3b. Substituindo na primeira: 3b+b=0\implies4b=0\implies b=0 e, portanto, a=0. As variáveis c,d são livres. Assim
\ker T = \Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\c&d\end{pmatrix}\mid c,d\in\mathbb{R}\Bigr\} =\operatorname{span}\Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\},
logo
\dim(\ker T)=2.

Passo 5

Injetividade: T é injetiva se e somente se \ker T=\{0\}. Aqui \dim(\ker T)=2>0, então T não é injetiva.
Sobrejetividade: T é sobrejetiva se \mathrm{Im}\,T=\mathbb{R}^{3}, ou seja \dim(\mathrm{Im}\,T)=3. Mas \dim(\mathrm{Im}\,T)=2<3, logo T não é sobrejetiva.

Resposta

Base de \mathrm{Im}\,T: \{(1,1,0),\;(1,-3,0)\} \dim(\mathrm{Im}\,T)=2
Base de \ker T: \Bigl\{\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\} \dim(\ker T)=2 T não é injetiva e não é sobrejetiva.

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