Questão 1: Determine uma base e a dimensão da imagem e do núcleo da transformação
e verifique se
é injetiva e sobrejetiva:
tal que
.
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
por
O conteúdo é subespaços (imagem e núcleo), bases, dimensões e critérios de injetividade e sobrejetividade. Para resolver, usaremos o Teorema da Dimensão (núcle
mage
imensão do domínio), cálculo de
em matrizes-canônicas e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Definimos as matrizes-canônicas de
:
Calculamos
Passo 3
A imagem de
é gerada por
, pois os outros enviam zero. Logo
Esses vetores são linearmente independentes em
, então
Passo 4
Para o núcleo, impomos
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
e, portanto,
. As variáveis
são livres. Assim
logo
Passo 5
Injetividade:
é injetiva se e somente se
. Aqui
, então
não é injetiva.
Sobrejetividade: é sobrejetiva se
, ou seja
. Mas
, logo
não é sobrejetiva.
Sobrejetividade:
Resposta
Base de
:
Base de
:
não é injetiva e não é sobrejetiva.