Seja
, onde
é o conjunto das sequências de Cauchy racionais. Mostre que
é um corpo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta para a gente mostrar que
, onde
é o conjunto das sequências de Cauchy racionais, é um corpo. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra, mais especificamente à construção dos números reais a partir dos racionais usando sequências de Cauchy. Vamos precisar entender o que é um corpo (ou campo) e como as operações de adição e multiplicação funcionam nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos fazer adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero), e essas operações seguem certas propriedades, como associatividade, comutatividade, existência de elementos neutros e inversos. Então, precisamos mostrar que
satisfaz todas essas propriedades.
Passo 3
Vamos começar definindo
. Aqui,
é o conjunto de todas as sequências de Cauchy de números racionais. Duas sequências
e
são consideradas equivalentes, ou seja,
, se a sequência
converge para zero. Isso significa que, no conjunto
, cada elemento é uma classe de equivalência de sequências de Cauchy racionais que “chegam juntas” no infinito.
Passo 4
Agora, vamos definir as operações de adição e multiplicação em
. Dada duas classes de equivalência
e
, a soma
é definida como a classe
, onde a soma é feita termo a termo. Similarmente, a multiplicação
é definida como a classe
, multiplicando também termo a termo. Precisamos verificar que essas operações estão bem definidas, ou seja, não dependem da escolha das sequências representativas.
Passo 5
Para garantir que as operações estão bem definidas, assumimos que
e
. Isso significa que
e
convergem para zero. Então, a diferença entre as somas
também converge para zero, garantindo que
. O mesmo raciocínio vale para a multiplicação, já que o produto de sequências que convergem também converge.
Passo 6
Agora, vamos verificar as propriedades de um corpo:
- Associatividade da adição e multiplicação: A soma e o produto de sequências de Cauchy associam-se termo a termo, então isso se transfere para
. - Comutatividade da adição e multiplicação: A ordem das operações nas sequências não altera o resultado, então também em
. - Existência de elementos neutros: A sequência constante
é o elemento neutro para a adição, e a sequência constante é o neutro para a multiplicação. - Existência de inversos: Para cada
, existe que é seu inverso aditivo. Para inversos multiplicativos, se , então existe tal que . - Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição, pois isso acontece para as sequências termo a termo.
Passo 7
Como todas essas propriedades são satisfeitas, concluímos que
com as operações definidas é de fato um corpo.
Resposta
Portanto,
é um corpo, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de associatividade, comutatividade, existência de elementos neutros e inversos, além da distributividade das operações.