Seja R=X / sim, onde X é o conjunto das sequências de Cauchy racionais. Mostre que R é um corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pergunta para a gente mostrar que R = X / sim, onde X é o conjunto das sequências de Cauchy racionais, é um corpo. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra, mais especificamente à construção dos números reais a partir dos racionais usando sequências de Cauchy. Vamos precisar entender o que é um corpo (ou campo) e como as operações de adição e multiplicação funcionam nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos fazer adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero), e essas operações seguem certas propriedades, como associatividade, comutatividade, existência de elementos neutros e inversos. Então, precisamos mostrar que R satisfaz todas essas propriedades.

Passo 3

Vamos começar definindo R = X / sim. Aqui, X é o conjunto de todas as sequências de Cauchy de números racionais. Duas sequências (an) e (bn) são consideradas equivalentes, ou seja, (an) sim (bn), se a sequência (an - bn) converge para zero. Isso significa que, no conjunto R, cada elemento é uma classe de equivalência de sequências de Cauchy racionais que “chegam juntas” no infinito.

Passo 4

Agora, vamos definir as operações de adição e multiplicação em R. Dada duas classes de equivalência [an] e [bn], a soma [an] + [bn] é definida como a classe [an + bn], onde a soma é feita termo a termo. Similarmente, a multiplicação [an] cdot [bn] é definida como a classe [an cdot bn], multiplicando também termo a termo. Precisamos verificar que essas operações estão bem definidas, ou seja, não dependem da escolha das sequências representativas.

Passo 5

Para garantir que as operações estão bem definidas, assumimos que (an) sim (a'n) e (bn) sim (b'n). Isso significa que (an - a'n) e (bn - b'n) convergem para zero. Então, a diferença entre as somas (an + bn) - (a'n + b'n) = (an - a'n) + (bn - b'n) também converge para zero, garantindo que [an + bn] = [a'n + b'n]. O mesmo raciocínio vale para a multiplicação, já que o produto de sequências que convergem também converge.

Passo 6

Agora, vamos verificar as propriedades de um corpo:
  1. Associatividade da adição e multiplicação: A soma e o produto de sequências de Cauchy associam-se termo a termo, então isso se transfere para R.
  2. Comutatividade da adição e multiplicação: A ordem das operações nas sequências não altera o resultado, então também em R.
  3. Existência de elementos neutros: A sequência constante (0, 0, 0, dots) é o elemento neutro para a adição, e a sequência constante (1, 1, 1, dots) é o neutro para a multiplicação.
  4. Existência de inversos: Para cada [an], existe [-an] que é seu inverso aditivo. Para inversos multiplicativos, se [an] neq [0], então existe [bn] tal que [an cdot bn] = [1].
  5. Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição, pois isso acontece para as sequências termo a termo.

Passo 7

Como todas essas propriedades são satisfeitas, concluímos que R com as operações definidas é de fato um corpo.

Resposta

Portanto, R é um corpo, pois satisfaz todas as propriedades necessárias de associatividade, comutatividade, existência de elementos neutros e inversos, além da distributividade das operações.

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