Mostre que se
e
, então
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem duas sequências de números, uma de $ p_n $ e outra de $ q_n $, e também suas versões priminhas $ p’_n $ e $ q’_n $. O enunciado diz que $ p_n $ é assintoticamente igual a $ p’_n $ (escrevemos $ p_n \sim p’_n $) e que $ q_n $ é assintoticamente igual a $ q’_n $ (ou seja, $ q_n \sim q’_n $). A gente precisa mostrar que o produto dessas sequências também mantém essa relação assintótica, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas sequências serem assintoticamente iguais e como isso se comporta quando a gente multiplica as sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa $ p_n \sim p’_n $. Isso quer dizer que, à medida que $ n $ cresce, a razão entre $ p_n $ e $ p’_n $ se aproxima de 1. Matematicamente, escrevemos:
O mesmo vale para $ q_n \sim q’_n $:
Ou seja, $ p_n $ e $ p’_n $ são praticamente a mesma coisa para valores grandes de $ n $, e o mesmo acontece com $ q_n $ e $ q’_n $.
Passo 3
Agora, vamos analisar o produto das sequências $ p_n \cdot q_n $ e $ p’_n \cdot q’_n $. Queremos mostrar que:
Podemos reescrever essa razão dividindo e multiplicando de uma forma conveniente:
Sabemos que:
Então, ao multiplicar esses limites:
Isso mostra que a razão entre os produtos das sequências também tende a 1, ou seja, $ p_n \cdot q_n \sim p’_n \cdot q’_n $.
Resposta
Concluímos que se $ p_n \sim p’_n $ e $ q_n \sim q’_n $, então $ p_n \cdot q_n \sim p’_n \cdot q’_n $.