Mostre que se (pn)n in N sim(pn^prime)n in N e (qn)n in N sim(qn^prime)n in N, então
(pn)n in N cdot(qn)n in N sim(pn^prime)n in N cdot(qn^prime)n in N

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem duas sequências de números, uma de $ p_n $ e outra de $ q_n $, e também suas versões priminhas $ p’_n $ e $ q’_n $. O enunciado diz que $ p_n $ é assintoticamente igual a $ p’_n $ (escrevemos $ p_n \sim p’_n $) e que $ q_n $ é assintoticamente igual a $ q’_n $ (ou seja, $ q_n \sim q’_n $). A gente precisa mostrar que o produto dessas sequências também mantém essa relação assintótica, ou seja:
pn
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas sequências serem assintoticamente iguais e como isso se comporta quando a gente multiplica as sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa $ p_n \sim p’_n $. Isso quer dizer que, à medida que $ n $ cresce, a razão entre $ p_n $ e $ p’_n $ se aproxima de 1. Matematicamente, escrevemos:
pn sim p'n
O mesmo vale para $ q_n \sim q’_n $:
n
Ou seja, $ p_n $ e $ p’_n $ são praticamente a mesma coisa para valores grandes de $ n $, e o mesmo acontece com $ q_n $ e $ q’_n $.

Passo 3

Agora, vamos analisar o produto das sequências $ p_n \cdot q_n $ e $ p’_n \cdot q’_n $. Queremos mostrar que:
pn cdot qn
Podemos reescrever essa razão dividindo e multiplicando de uma forma conveniente:
p'n cdot q'n
Sabemos que:
limn to infty pn cdot qnp'n cdot q'n = 1
Então, ao multiplicar esses limites:
pn cdot qnp'n cdot q'n = pnp'n cdot qnq'n
Isso mostra que a razão entre os produtos das sequências também tende a 1, ou seja, $ p_n \cdot q_n \sim p’_n \cdot q’_n $.

Resposta

Concluímos que se $ p_n \sim p’_n $ e $ q_n \sim q’_n $, então $ p_n \cdot q_n \sim p’_n \cdot q’_n $.

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