Mostre que pode utilizar a regra de L’Hopital para determinar os limites abaixo, em seguida determine os valores dos limites
a) \quad \lim _{z \rightarrow i} \frac{z^{7}+i}{z^{14}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{z\to i}\frac{z^{7}+i}{z^{14}+1}
e sugere usar a regra de L’Hôpital no contexto de funções de variável complexa, que requer que numerador e denominador sejam diferenciáveis (holomorfos) em torno de z=i, exceto possivelmente em z=i.

Passo 2

Verificamos substituição direta em z=i:
\,i^7+i=-i+i=0 e \,i^{14}+1=(-1)+1=0, logo temos forma indeterminada 0/0. Como
\,f(z)=z^7+i e \,g(z)=z^{14}+1
são holomorfas em \mathbb{C} e
\,g'(z)=14z^{13} satisfaz g'(i)=14\,i^{13}\neq0, as hipóteses de L’Hôpital estão garantidas.

Passo 3

Calculamos as derivadas
\,f'(z)=7z^6 e \,g'(z)=14z^{13}.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{z\to i}\frac{z^{7}+i}{z^{14}+1} =\lim_{z\to i}\frac{f'(z)}{g'(z)} =\lim_{z\to i}\frac{7z^6}{14z^{13}} =\frac12\lim_{z\to i}z^{-7} =\frac12\,i^{-7} =\frac12\,i^{-3\cdot1-4\cdot1} =\tfrac{i}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{i}{2}

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