Mostre que pode utilizar a regra de L’Hopital para determinar os limites abaixo, em seguida determine os valores dos limites
c) \lim _{z \rightarrow \sqrt{2}+\sqrt{2} i} \frac{z^{4}+16}{z^{2}-2 \sqrt{2} z+4}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{z\to \sqrt{2}+\imath\sqrt{2}}\frac{z^{4}+16}{\,z^{2}-2\sqrt{2}\,z+4\,}
Esse é um quociente de polinômios em z, funções holomorfas no plano complexo, então se em z_{0}=\sqrt{2}+\imath\sqrt{2} fizermos z^{4}+16 e z^{2}-2\sqrt{2}z+4 darem 0, teremos a forma indeterminada \tfrac{0}{0} e poderemos aplicar a regra de L’Hôpital (que em variáveis complexas é análoga à real).

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada avaliando numerador e denominador em
z_{0}=\sqrt{2}+\imath\sqrt{2}=\sqrt{2}(1+\imath).
Primeiro
z_{0}^{2} = \bigl(\sqrt{2}(1+\imath)\bigr)^{2} =2(1+2\imath+\imath^{2})=2(2\imath)=4\imath,
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z_{0}^{4}=(z_{0}^{2})^{2}=(4\imath)^{2}=-16.
Assim
z_{0}^{4}+16 = -16+16=0.
E no denominador
z_{0}^{2}-2\sqrt{2}\,z_{0}+4 = 4\imath -2\sqrt{2}\,\sqrt{2}(1+\imath)+4 =4\imath -4(1+\imath)+4=0.
Portanto temos \tfrac{0}{0} e a regra de L’Hôpital vale.

Passo 3

Calculamos as derivadas em z:
f(z)=z^{4}+16,\quad f'(z)=4\,z^{3},
g(z)=z^{2}-2\sqrt{2}\,z+4,\quad g'(z)=2\,z-2\sqrt{2}.

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital
\lim_{z\to z_{0}}\frac{z^{4}+16}{\,z^{2}-2\sqrt{2}z+4} =\lim_{z\to z_{0}}\frac{f'(z)}{g'(z)} =\frac{f'(z_{0})}{g'(z_{0})} =\frac{4\,z_{0}^{3}}{\,2\,z_{0}-2\sqrt{2}\,}.

Passo 5

Calculando z_{0}^{3}=z_{0}^{2}\,z_{0}=4\imath\cdot\sqrt{2}(1+\imath) =4\sqrt{2}\,\imath(1+\imath)=4\sqrt{2}(\imath+\imath^{2}) =4\sqrt{2}(\imath-1).
Então
4\,z_{0}^{3}=16\sqrt{2}(\imath-1), \quad 2\,z_{0}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}(1+\imath)-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\,\imath.
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\frac{4\,z_{0}^{3}}{\,2\,z_{0}-2\sqrt{2}\,} =\frac{16\sqrt{2}(\imath-1)}{2\sqrt{2}\,\imath} =8\,\frac{\imath-1}{\imath} =8\bigl(1-\tfrac{1}{\imath}\bigr) =8(1+\imath) =8+8\imath.

Resposta

O valor do limite é 8+8\imath.

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