Mostre que os polinômios f(t)=1-t^3,
g(t)=(1-t)^2, h(t)=1-t e s(t)=1 geram o espaço P3(R) dos polinômios de grau <= 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os polinômios
f(t)=1 - t^3, g(t)=(1-t)^2, h(t)=1-t, s(t)=1
geram o espaço ,P3(R) de todos os polinômios de grau no máximo 3.
Como dim P3(R)=4 e temos quatro polinômios, basta expressar as bases canônicas
1,t,t^2,t^3 como combinações lineares de s,h,g,f.

Passo 2

Primeiro, de h(t)=1-t e s(t)=1 temos
t = 1 - h(t) = s(t) - h(t)

Passo 3

Em seguida, como
g(t)=(1-t)^2 = 1 - 2t + t^2,
isolamos t^2:
t^2 = g(t) - 1 + 2t = g(t) - s(t) + 2l(s(t)-h(t)r) = g(t) + s(t) - 2,h(t)

Passo 4

Por fim, de
f(t)=1 - t^3
vem
t^3 = 1 - f(t) = s(t) - f(t)

Passo 5

Agora qualquer polinômio
p(t) = a + b,t + c,t^2 + d,t^3
pode ser escrito em função de s,h,g,f substituindo t,t^2,t^3 pelas expressões acima. Logo
s,h,g,f gera todo p(t) em P3(R).

Resposta

Os quatro polinômios geram P3(R).

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