Nos Problemas 19-36, use o Teorema 7.1.1 para determinar L backslash f(t).
f(t)=(e^t-e^-t)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
Lf(t) de
f(t) = l(e^t - e^-tr)^2
Isso é matéria de Transformada de Laplace.
Para resolver vamos usar o Teorema 7.1.1, que diz, basicamente:
  1. Le^a t = 1s - a, para s>Re(a).
  2. A propriedade da linearidade: a transformada de soma é soma das transformadas, e fator constante sai da transformada.

Passo 2

Primeiro, simplifica f(t) expandindo o quadrado:
f(t) = (e^t - e^-t)^2 = e^2t - 2,e^t e^-t + e^-2t = e^2t - 2 + e^-2t
Aqui usei a distributiva e e^t e^-t=e^t-t=1.

Passo 3

Agora aplicamos a transformada termo a termo:
Le^2t = 1s - 2, Le^-2t = 1s + 2, L1 = 1s
E como tinha um “ -2” em f(t), isso vira -2cdot L1 = -2s.

Passo 4

Somando tudo:
Lf(t) = 1s-2 + 1s+2 - 2s
Para deixar mais bonito, põe tudo sobre o mesmo denominador s(s^2-4):
1s-2 + 1s+2 = (s+2)+(s-2)s^2-4 = 2ss^2-4,
então
2ss^2-4 - 2s = 2s^2 - 2(s^2 -4)s(s^2-4) = 8s,(s^2-4)

Resposta

boxedL, (e^t - e^-t)^2 = 8s,l(s^2 - 4r), s>2

Exercícios relacionados