4- (0,6) Responda, justificando:
Qual é o conjunto que resulta na intercessão dos intervalos I_{n}= \left(-\frac{1}{n}, 1+1 / n\right), sendo \mathrm{n}=1,2,3, \ldots ?

Passo 1

O enunciado pede a interseção
\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} \quad\text{onde}\quad I_{n}=\Bigl(-\tfrac{1}{n},\,1+\tfrac{1}{n}\Bigr).
O conteúdo envolve a ideia de supremum dos extremos inferiores e ínfimum dos extremos superiores de uma família de intervalos.

Passo 2

Analisamos a condição para o limite inferior. Para x pertencer a todos os I_{n} devemos ter
-\tfrac{1}{n}<x \quad\text{para todo }n\ge1.
Os valores -\tfrac1n formam uma sequência que aumenta para 0. Assim
\sup\Bigl\{-\tfrac1n:n\ge1\Bigr\}=0
e a condição se torna x\ge0. De fato, se x<0, para n>1/|x| teríamos -1/n>-|x|, o que violaria -1/n<x.

Passo 3

Agora olhamos o limite superior. Para x estar em cada I_{n} precisamos
x<1+\tfrac{1}{n} \quad\text{para todo }n\ge1.
Os valores 1+\tfrac1n diminuem para 1. Logo
\inf\Bigl\{1+\tfrac1n:n\ge1\Bigr\}=1
e a condição passa a ser x\le1. Se x>1, para n>1/(x-1) teríamos 1+1/n<x, uma violação.

Passo 4

Combinando as duas condições, obtemos
0\le x\le1.
Portanto a interseção de todos os I_{n} é exatamente o intervalo fechado de 0 a 1.

Resposta

[0,1]

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