Mostre que (0,0) é um ponto crítico de g(x, y)=x^2+k x y+y^2, não importando o valor da constante k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que (0,0) é ponto crítico da função
g(x,y)=x^2+k,x,y+y^2,
independente de k. Para isso, vamos usar o conceito de ponto crítico: (x,y) é crítico se e só se
nabla g(x,y)=(0,0).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de g:
partial gpartial x(x,y) =partialpartial xl(x^2+k,x,y+y^2r) =2x+k,y,
partial gpartial y(x,y) =partialpartial yl(x^2+k,x,y+y^2r) =k,x+2y
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nabla g(x,y)=(,2x+k,y,;k,x+2y,)

Passo 3

Avaliar o gradiente em (0,0):
para x=0 e y=0 temos
2cdot 0 + kcdot 0 = 0, kcdot 0 + 2cdot 0 = 0,
portanto
nabla g(0,0)=(0,0), o que prova que (0,0) é ponto crítico.

Resposta

(0,0) é ponto crítico de g(x,y)=x^2+k,x,y+y^2 para todo valor de k.

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