Nos problemas 17-22, resolva o problema de valor inicial.
d yd x-yx=x e^x, y(1)=e-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx-yx=x e^x, y(1)=e-1.
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, da forma
dydx+P(x),y=Q(x). Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos
P(x)=-1x, Q(x)=x e^x
O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx =e^-integral1x,dx =e^-ln x =x^-1

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x^-1 obtemos
x^-1dydx-x^-2y =e^x
Reparando que
ddxl(yxr) =x,dydx-yx^2 =x^-1dydx-x^-2y,
vemos que o lado esquerdo é ddx(y/x).

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(yxr),dx =integral e^x,dx Longrightarrow yx=e^x+C,
onde C é a constante de integração. Logo
y=xl(e^x+Cr)=x e^x+Cx

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=e-1:
y(1)=1cdot e^1+Ccdot1=e+C=e-1 Longrightarrow C=-1
Substituindo em y=x e^x+Cx, obtemos
y=x e^x - x

Resposta

y(x)=xl(e^x-1r)

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